矩阵、旋转与张量

快速回顾

矩阵记录一个线性映射怎样把输入分量变成输出分量。$\mathbf y=A\mathbf x$ 的第 i 行给出第 i 个输出对各输入的权重。矩阵乘法一般不交换次序。

从头理解

令 A=diag(2,1)，一个圆经 A 作用后变成椭圆：一个方向放大两倍，另一个不变。旋转矩阵则改变方向而保持长度，满足 RᵀR=I。张量的分量随坐标变换，但其描述的物理映射不因坐标选择改变。

当输入和输出都旋转时，二阶张量转换为 RARᵀ。右侧 Rᵀ先把实验输入变回对象坐标，A 做响应，左侧 R 把输出变回来。

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极化张量将外加 H 映射为磁矩。其非对角项可能来自目标姿态，而非新增材料机制。详见 C13。

用列向量读懂矩阵

矩阵乘以第 j 个单位向量，结果就是它的第 j 列。因此旋转矩阵的列可以解释为旧坐标中三个新轴的方向。矩阵乘法顺序有物理含义：ABv 先做 B 再做 A，通常不能交换。

旋转产生非对角项，但两个特征值仍为2和1。它是同一目标的不同坐标描述，不是材料突然改变。参见 C13 的三维张量观测行。