静磁极化张量：把材料、形状和姿态连起来

一个标量为什么不够用？

球体沿每个方向响应相同，可以用一个比例系数描述。但椭球沿长轴与短轴不同，外场换方向后，磁矩甚至不再与外场平行。张量就是同时记录“各方向输入如何产生各方向输出”的线性映射。

对均匀各向同性线性椭球，把退磁关系代入材料关系：

乘体积 V 后定义本课程的静磁极化张量 P：

P 的单位为 m³，因为 m 的单位 A·m²，H 的单位 A/m。有些文献用 B 作为输入，此时对应张量是 P/μ₀，不能在两种定义之间只改字母不改系数。

在主轴上读出物理含义

主轴坐标下 $P_i=V\chi/(1+\chi N_i)$。V 描述尺寸尺度，χ 描述材料线性响应，Nᵢ描述形状反馈。P 是对称矩阵，因此其特征向量给出正交主方向；球体三个特征值相同，没有唯一可辨识主轴。

若 R 把目标坐标分量变到实验坐标，先将外场变回目标系，再施加目标响应，最后把磁矩变到实验系：

这条顺序解释了为什么不是简单的 RP。接收方向还要左乘 $\mathbf n^T$，得到单轴通道读数。

一个二维旋转例子

设 P 的两个平面主值为 2、1（单位相同），旋转 45° 后该平面块为 $\begin{bmatrix}1.5&0.5\\0.5&1.5\end{bmatrix}$。沿实验 x 方向激励时，会同时产生 x、y 方向磁矩。非对角项并不意味着材料具有奇怪的新机制，它可能仅仅来自坐标旋转。

从自洽磁化到真正的张量表达

在均匀椭球、线性材料且无剩磁时，$M=\chi(H_0-NM)$，所以

当 χ 可逆时也可写 $P=V(\chi^{-1}+N)^{-1}$。这个形式显示：若材料磁化率和退磁张量对称，则 P 对称。不能为了方便随意交换两个非对易矩阵的位置。各向同性 χ 退化为标量，才得到熟悉的三个主轴分式。

从六个参数到一条观测行

对称张量取参数向量 $p=(P_{xx},P_{yy},P_{zz},P_{xy},P_{xz},P_{yz})^T$。定义接收传播行向量 $g^T=e^TG$ 和局部激励 h，则标量数据为

每一个实际发射—接收组合提供设计矩阵的一行。非对角项没有统一的额外2；只有 g=h 等特殊情况才简化。若激励永远只沿 z 方向，则 Pxx、Pyy、Pxy 不进入这一观测，重复采样不能恢复它们。

旋转后的不变量与变化量

世界系张量为 $P_w=RP_bR^T$。迹、行列式和特征值不随坐标旋转变化；各矩阵元素会变化。这些不变量对目标表征很有用，但同时丢掉了方向信息。后续应保留张量估计的不确定性，而不是仅把三条排序曲线当作无误差“指纹”。

研究拓展

对各向异性材料，起点变为 $\mathbf M=\boldsymbol\chi(\mathbf H_0-N\mathbf M)$，应保留矩阵乘法顺序。对于导电目标的频域 MPT，实部和虚部一般不保证能由同一个 R 同时对角化；把静磁椭球的共轴结构推广到所有目标必须另加依据。

练习与解析