时间域 MPT：先定义响应，再讨论三条主轴曲线

m(t)=P(t)H₀ 到底意味着什么？

这条常见写法只有在规定激励以后才完整。若 H₀ 表示长期恒定场、于零时刻关断，则 Poff(t) 是相应关断张量，单位 m³。若输入是任意 H(t)，则应写冲激核的卷积：

K 的单位为 m³/s，还可能包含分布意义上的瞬时项。K 与 Poff 不是同一对象。对稳定因果线性系统、长期稳态预激励和 t>0，有：

分开材料响应与空间传播

若目标足够小、一次场在目标附近近似均匀，可以在目标位置求 Hₚ，并将磁矩通过偶极 Green 张量映射到接收点：

多个测点共享同一目标响应，但 G 各不相同。这使位置、姿态和响应曲线能够在统一模型中估计。若目标尺寸接近发射场变化尺度，应加入梯度或高阶表征。

三主轴模型怎样使用才稳妥？

对具有相应对称性且共轴结构成立的模型，可设 $P_{body}(t)=\operatorname{diag}(p_1(t),p_2(t),p_3(t))$。各曲线可以多指数参数化，但其系数是否非负、主轴是否固定，应由具体模型决定。一般对象不保证所有时刻的响应都由同一个 R 对角化。

不能为了画出三条漂亮曲线，把每个时间点独立排序后当作同一条物理主轴。特征值接近或交叉时，轴方向与标签都可能不稳定。

数值例子

若某时刻三个主值为 (2,1,1)×10⁻³ m³，沿第一主轴施加 100 A/m，磁矩为 0.2 A·m²；沿第二轴则为 0.1 A·m²。前者放在 1 m 轴向观测，理想二次场为 40 nT。这个例子明确了从 H 到 m 再到 B 的每一次单位变化。

三种张量各回答什么问题

静态张量 P₀ 表示长期恒定激励的增益，冲激核 K(t) 表示整个线性系统，关断张量 P_off(t) 则对应指定的长期预激励和关断过程。对于 t>0、稳定因果系统，

若 K 包含 δ(t) 瞬时项，上式只描述 t>0 的常规部分，静态增益还必须把瞬时项计入。P_off 的单位为 m³，K 为 m³/s。这能帮助核对同样叫“polarizability”的两组曲线到底能不能直接比较。

一条包含接收系统的观测式

对第 s 个位置、q 个发射、k 个门，固定姿态且线性时可写

w_k 是时间门权重，R_s 这里用花体表示接收操作而非姿态矩阵，h_q 是单位电流在目标处产生的场。先理解每层的输入输出，再实现数组堆叠，能避免把滤波或微分重复执行。

主轴是否必须随时间保持不变

若 $P(t)=R\operatorname{diag}(p_1(t),p_2(t),p_3(t))R^T$ 使用同一个 R，则不同时刻的张量两两对易：$P(t_1)P(t_2)=P(t_2)P(t_1)$。这是共享主轴模型可以检查的必要条件。一般目标不一定满足；噪声也会造成不对易，因此应在估计误差范围内比较，而不是立即判为新物理。理论背景见 MPT 谱性质。

研究拓展

高阶 MPT、非均匀源和多目标相互作用是自然扩展。它们增加可解释的结构，也增加参数与数据需求。一个更复杂模型只有在新增自由度获得观测支持时，才可能改善可靠性。

练习与解析