多目标反演：变量投影、子空间与目标数选择

两个峰不一定是两个目标，一个峰也不一定只有一个目标

观测是场的叠加，峰形受深度、方向、相对幅度和测线影响。先把“异常图上的峰数”与“地下目标数”区分。弱相互耦合、独立偶极近似下，K 个目标满足

这里叠加的是同一接收定义下的数据。目标间距离足够近以至相互激励显著时，独立响应近似本身需要升级；不能仅增加独立偶极数量来替代所有耦合效应。

为什么把位置和极化率一起盲目搜索很困难

每个目标增加三个位置参数和每门六个对称张量元素。K=2、20门时，仅张量元素就有240个。它们对数据线性，而位置非线性，直接把全部量交给同一个非线性优化器浪费了结构。

固定候选位置 X 后，对每门求白化最小二乘 $p_{k,*}(X)=\widetilde A_K^\dagger\widetilde d_k$。将其代回得到

外层主要搜索3K个位置参数，内层通过 QR/SVD 得到最优张量。这是可分离非线性最小二乘的教学表达。约束、平滑和噪声模型改变时，要相应调整内层问题。

外层梯度为什么不能忽略设计矩阵变化

在满秩光滑区间、无额外约束时，最优残差与设计列正交。微分 $r=Ap_*-d$ 后，$r^TA\,dp_*=0$，因此目标函数微分可化为

这是包络性质在该问题中的体现。虽然没有显式出现 dp_*，却仍然要求每个候选位置重新求解 p_*。秩改变和活跃约束改变的边界可能不光滑，不应机械套用这个表达。

时空子空间提供另一种降维

把空间通道放在行、时间门放在列，构造数据矩阵 D，分解 $D=U\Sigma V^T$。显著奇异值对应的时间模式可用于压缩定位问题。TOPI 的研究利用这一结构投影数据，再恢复位置和原域极化响应。不要把压缩后的分量直接当作某个物理目标的专属曲线。

MUSIC 类方法则比较候选空间响应与噪声子空间的正交程度。一个简化标量方向向量 a(x) 的分数可写为

峰值代表候选响应与信号子空间相容。多分量张量需要候选子空间而不是单一向量；秩选择、噪声相关性和模型失配会影响结果。上述公式用于理解投影，不是完整复现所有 MUSIC 变体。

目标数量怎样与数据证据配合

增加 K 通常降低残差，也可能过拟合背景。应比较一目标、两目标及合理上界下的残差结构、参数稳定性和独立预测。BIC 类准则 $n\ln(RSS/n)+p\ln n$ 有独立同方差高斯等假设，不能不加说明地用于高度相关多门数据。更直接的方法是保留独立测点，比较增加目标后是否真正改善预测。

一次完整的思考实验

先用两个分离的合成偶极生成数据，逐步缩小间距。记录残差、位置误差及白化设计矩阵的最小奇异值。再把一个目标幅值降低十倍，观察弱目标何时不再稳定。最后加入平滑背景，检查算法是否创造一个深处大目标去解释背景。三个变化分别考察分辨率、动态范围和模型失配。

练习与解析