SVD：把可见与不可见的参数组合分开

某些变化响亮，某些变化几乎无声

Jacobian 的列对应单个参数，但数据最敏感的方向常是参数组合。对经过数据白化和参数缩放的矩阵 Jw，做分解：

右奇异向量 vₖ 是参数组合，左奇异向量 uₖ 是其在数据中的变化形状，奇异值 sₖ 是放大倍数。零奇异值对应局部不可见方向；很小的奇异值对应容易被噪声淹没的方向。

反算为何会放大噪声？

在无约束线性问题中，某方向的估计系数含 $\mathbf u_k^T\mathbf d_w/s_k$。sₖ 很小时，即使该方向的数据误差很小，也会被除法放大。优化器并没有制造不确定性，它只是暴露了观测缺乏区分力。

条件数 κ=smax/smin 需要说明对哪些非零奇异值取比、使用了怎样的参数尺度。改变参数单位即可改变 κ，因此不应脱离缩放报告一个“绝对病态程度”。

一个能手算的退化例子

令 $J=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}$。第二列等于第一列，只能看到 θ₁+θ₂。沿 (1,−1) 改变参数，JΔθ=0，数据完全不变。它的非零奇异值为 √10，另一个为零。

加入第三条观测 [1,−1] 后，原先看不到的方向可见。单纯把前两行重复一百次，不能产生这个新方向。这解释了为什么实验多样性有时比重复次数更重要。

近退化与实际噪声

实际两列往往不是完全相同，而是几乎平行。在无噪声无限精度下也许可解，但在现实噪声下参数范围仍很宽。结构可辨识性与实际可辨识性需要分开讨论。局部 SVD 还不能排除远处存在另一组完全不同的等效解。

奇异值必须在有意义的尺度下比较

先白化数据，再将参数变化换成科学上有意义的尺度：$\widetilde J=WJD_\theta$。其分解为 $\widetilde J=U\Sigma V^T$。V 的列表示参数组合，U 的列表示对应数据形状，s_i 表示单位尺度参数组合能产生多少噪声单位的数据变化。直接混合“米、弧度、S/m”的原始列，条件数会主要反映单位选择。

从分解直接看到误差放大

对线性白化问题，最小二乘解含

s_i 很小的方向会放大噪声。若 s=(10,1,0.001)，单位数据扰动在第三个方向可放大1000倍。把所有小奇异值截断会稳定解，同时放弃这些方向的恢复，因此必须报告丢掉了什么信息。

一个几乎退化的例子

取 $J=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\varepsilon\end{pmatrix}$。ε 趋零时，两列趋于相同，主要看见参数之和而看不见差值。两条观测仍然不同，但其区分力可能小于噪声。这就是结构上可辨识与实际可辨识的区别。

数据矩阵 SVD 与 Jacobian SVD 不要混淆

前者分离观测的时空模式，后者分离参数扰动的可见方向。数据矩阵的低秩可以用于降噪或子空间定位，但有效秩不能简单等同于目标个数。多个目标可能共享近似时间曲线，单个目标也可能贡献多个独立极化方向。见 S02 的 TOPI 讨论。

研究拓展

奇异向量会随当前 θ、时间窗和几何改变。应在代表性的参数区域分析，而不是只在一个“漂亮真值”上画奇异值。若关心某个具体派生量，其不确定性可能比所有原始参数都小，值得直接分析。

练习与解析