综合实训：从合成观测到位置、幅值和衰减反演

这次实验要独立回答什么

你会看到一条地面测线上的磁场数据，目标水平位置 x₀、深度 z、初始磁矩 m₀ 和时间常数 τ 都未知。任务是从多个位置和多个时间恢复它们，并说明噪声和观测窗口如何影响答案。实验使用固定竖直磁矩、单指数、均匀已知激励和自由空间接收的教学模型；它检验完整流程，但不代表真实任意目标的完整三维 PDE。

第一步：写出带单位的正演

目标位于 (x₀,0,−z)，测点位于 (x,0,0)，磁矩为 $m(t)=m_0e^{-t/\tau}e_z$。由偶极传播，竖直场为

位置和深度用 m，时间和 τ 使用一致单位，m₀ 用 A·m²，B 转换成 nT 展示。m₀ 已表示关断磁矩幅值，因此模型不再额外乘一次体积或发射场。空间正负瓣是几何结果，不能在取对数前丢掉符号。

第二步：明确采样与噪声

浏览器使用31个位置和6个时间的瞬时 Bz 样值。固定随机种子生成独立高斯噪声，噪声标准差以无噪声数据峰值的百分比指定。它是受控合成实验，不含真实背景。每五个位置留出一个，其全部时间数据都不参加反演，用于独立位置预测检查。

时间窗口可以收缩，测线半宽也可改变。先预测：窄测线会加强深度与幅值耦合，短时间窗口会让衰减时间更难区分，然后再调节参数看是否如此。

第三步：把一个线性参数消去

令形状向量 $a(X)$ 是 m₀=1 时的全部训练数据，$X=(x_0,z,\tau)$。在当前同方差噪声设定下，最优非负幅值为

于是每个候选 X 只需计算一条基准响应、点积和残差，外层搜索三个参数。不同数据误差时，把 a 和 d 先白化；若幅值允许带符号则取消非负截断。本实验方向固定为正 z，因此采用非负幅值。

第四步：分层网格搜索而非“神秘拟合”

先在明确范围内粗搜 x₀、z 与 logτ，再围绕当前最优点逐步缩小网格。每一个位置候选都重新求最优幅值。它比完整 PDE 反演简单，适合直接观察误差面；有限网格也意味着结果存在搜索精度，不能把最后几位当作统计精度。

目标函数为 $RSS(X)=\sum_{train}(m_{0,*}a_i-d_i)^2$。计算曲线使用真实训练数据而非生成参数；真实参数只用于页面上的误差比较。噪声种子改变后可重复整个实验，观察参数估计的波动。

第五步：用残差与留出预测评价结果

页面显示真值与估计值、训练 RMSE、留出位置 RMSE。若增加复杂度只改善训练残差而不改善留出预测，应怀疑过拟合或信息不足。此处留出数据仍来自同一简化模型，只验证内部流程与噪声泛化；实物评价还要用独立目标、背景和测量链。

最直观的曲线是第一个时间门的空间剖面，包含无噪声真值、加噪观测和拟合值。反演实际使用全部训练位置的六个时间，而非只使用这张显示曲线。所有图线可导出，完整多时刻数据可用实验中的数据导出按钮保存。

建议完成的四组实验

1. 关闭噪声，保持默认窗口，检查是否能接近已知参数，理解网格精度留下的误差。
2. 固定真值，逐步增加噪声并更换种子，记录参数误差，而不只看拟合曲线。
3. 缩窄测线与时间窗口，观察不同参数组合怎样产生相似数据。
4. 将实验正演替换成两个衰减模态或一个附加背景，再用单指数模型拟合，判断误差会留在残差中还是被参数吸收。这个扩展是进一步编程练习，当前交互不自动包含它。

练习与解析