统一 PDE：导电、非线性磁化与磁滞如何一起求解

为什么不能把两条曲线简单相加？

导电引起的涡流改变内部 H；内部 H 决定磁化；磁化改变 B；B 的时间变化又驱动涡流。这是一条闭合反馈链。当材料非线性或有历史状态时，预先计算一个磁化响应再加一个独立非磁性涡流响应，一般不能保持自洽。

选择变量：向量势与电势

令 B=∇×A，使磁通约束在连续层面自动满足；取 E=−∂tA−∇φ，满足 Faraday 定律。静止导体中 $\mathbf J_c=\sigma(-\partial_t\mathbf A-\nabla\varphi)$。由 Ampère 定律：

z 表示材料内部状态，Js 是已知激励电流。导体无内部电流源的区域还要满足：

这组式子表达耦合结构，并不是已经选定某一种完整材料模型。H(B,z) 与 g 必须来自相互一致、已标定且数值可解的本构关系。

A 与 φ 为什么还需要规范？

A 加上任意标量梯度不改变 B；相应调整 φ 也可保持 E。因此势变量存在规范自由度，需要 Coulomb 规范、约束或适当离散方法去除非唯一性。在空气中 σ=0，不能用电导项约束 φ；应按区域处理未知量，而不是给空气随意加一个巨大电导率。

一步时间推进实际做了什么？

以 backward Euler 为例，把 ∂tA 近似为 (Aⁿ⁺¹−Aⁿ)/Δt。先根据当前迭代状态求 B、H 与材料切线，再组装场方程和电流守恒残差；求增量、更新势和材料状态，直到耦合残差收敛。只更新一次材料而不回到场方程，可能保留明显的不一致。

对于退磁后的初态，还必须提供 A⁰ 和 z⁰。它们应由此前激励过程得到，或由明确的稳态问题初始化。直接令全部状态为零，会抹掉研究磁滞时最关心的历史。

怎样验证而不是只相信收敛提示？

先退回线性均匀球，与解析根和衰减比较；再做空间及时间加密；检查界面通量、电流守恒和无源能量耗散；最后加入已知材料回线并验证独立数据。非线性迭代残差小，仅说明离散方程被求解，不能单独证明连续模型正确。

把连续场方程写成可组装的弱形式

记 $B=\nabla\times A$，选向量测试函数 w。对场方程乘 w 并分部积分，得到

导体区域记为 Ω_c。电流守恒再用标量测试函数 v，绝缘表面零法向电流时给出 $\int_{\Omega_c}\sigma(\dot A+\nabla\varphi)\cdot\nabla v\,dV=0$。合适的边元处理 A 的切向连续性，节点元处理 φ。离散空间的选择与场的连续性类型有关，不是单纯选择高阶多项式。

非线性迭代必须同时处理场和材料状态

设全部未知量为 $u=(a,\varphi,z)$，时间离散后的残差为 R(u)=0。Newton 法求

若忽略材料状态对场的耦合块，相当于改变迭代方法，需要额外收敛论证。材料状态应使用“已接受时间步”和“当前试算状态”两份记录；失败的 Newton 试步不能永久修改磁滞历史。

空气、初态和规范共同闭合问题

空气无传导电流但有磁场，应参与 A 的空间求解。φ 通常只在导体内定义，并为每个必要的连通分量设置电位参考。A 的规范约束处理其梯度零空间。初态需要满足磁通和材料关系；如果前一段预磁化很重要，就应把它作为前向过程的一部分模拟。

研究拓展

温度、应力、磁黏滞、各向异性和磁畴细节可继续加入，但每种机制都应有对应观测与验证实验。本教材浏览器中的磁滞图是教学状态模型，完整三维非线性 PDE 需要专门求解器，不能把两者混称。

练习与解析