C21 / 感应与电磁扩散 · 2.0 · 参考阅读 6 分钟，推导与练习另计

真实发射波形：有限关断如何进入模型

冲激卷积、阶跃叠加与时间门道平均。

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理想关断为什么不够？

真实电流需要一段时间从工作值降到零，接收系统也有恢复过程。若关断时间与某些目标模态时间常数相近，这些模态在关断期间已明显变化。忽略这一点，会把激励差异解释成较低电导率或不同尺寸。

在线性时不变近似成立时，设输入为发射电流 I(t)，目标和系统从电流到记录的冲激核为 h，则 d=h*I。若先用磁场作为输入，应先通过单位电流场把 I 转成 H，不要遗漏线圈匝数或重复乘增益。

把一段分段常值输入写成许多变化量 ΔIⱼ 在 tⱼ 时刻开启：

I(t)=I_{base}+\sum_j\Delta I_j u(t-t_j),\qquad d(t)=d_{base}+\sum_j\Delta I_j S(t-t_j).

S 是单位阶跃开启响应，且 t<tⱼ 时该项为零。初始稳态 dbase 必须与 Ibase 及材料状态相容。若使用 step-off 曲线，符号和静态项需要相应重写，不能只替换 S 的名字。

实际数据常是在时间窗内平均：

\bar d_k=\frac1{t_{k,2}-t_{k,1}}\int_{t_{k,1}}^{t_{k,2}}d(t)dt.

对单指数，精确门道平均为 $A\tau[e^{-t_1/\tau}-e^{-t_2/\tau}]/(t_2-t_1)$ 。门道很宽或衰减很快时，中点采样与平均值有明显差别。若仪器使用其他加权窗，还应使用实际窗函数。

τ=1 ms，门道从 0 到 2 ms。中点值为 0.3679A，精确平均为 0.4323A，差异约为平均值的 15%。因此“数据时刻”必须说明是中点、对数中心、有效时刻还是门道积分。

若电流在时刻 t_j 发生增量 ΔI_j，线性时不变系统的响应是

y(t)=\sum_j\Delta I_j s(t-t_j).

这里 s 是单位电流阶跃响应，不是单位磁场响应，两者之间还差发射几何。对真实记录的电流做分段常值近似，就可以逐步逼近任意波形。提高时间分辨率后还要检查波形插值与卷积收敛。

若某一响应为 $Ae^{-t/\tau}$ ，均匀时间门 [t₁,t₂] 的平均值是

\bar y=\frac{A\tau}{t_2-t_1}\left(e^{-t_1/\tau}-e^{-t_2/\tau}\right).

它与中心值的比值为 $\sinh h/h$ ，其中 $h=(t_2-t_1)/(2\tau)$ 。例如门宽等于 τ 时比值约1.042，已经有约4.2%的差异。早期快速衰减与宽门组合时，中心点近似可能导致系统性材料偏差。

某自由模态经过间隔 T_r 后只剩原来的 $e^{-T_r/\tau}$ 。若每周期在同一时刻注入固定状态增量 A，周期稳态幅值满足 $a_*=a_*e^{-T_r/\tau}+A$ ，即

a_*=\frac{A}{1-e^{-T_r/\tau}}.

双极性、有限脉宽和材料磁滞会改变这一简化递推，但它说明“上个周期已完全结束”是需要判断的假设。重复频率影响的可能是初态，而不仅是平均次数。

深入练习：反演数据已做时间门平均，模型仍用瞬时值，会产生什么残差？

即使参数真实，也会产生随时间门宽和衰减速度变化的结构性残差。加大迭代次数不能修复观测定义不一致。

时间零点漂移也可以模拟响应变化。将一个小偏移 Δt 展开， $d(t+\Delta t)\approx d(t)+d'(t)\Delta t$ ，可见快速变化区域最敏感。反演中可把零点作为有约束的系统参数，但其与快速模态的耦合需要分析。

1. 连续卷积离散求和时为什么通常要乘 Δt？

求和是在近似时间积分。遗漏 Δt 会使结果随采样率错误缩放，并破坏单位一致性。

2. 仅比较两台系统输出幅值，能直接比较目标极化能力吗？

不能。必须统一发射波形、接收传递函数、门道、几何及幅值归一化。

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