扩散深度、趋肤效应与时间尺度

磁场不是以一条锐利边界进入导体

设半空间 x>0 初始场为零，x=0 从 t=0 起保持 B₀。常系数一维扩散解为：

erfc 是互补误差函数。其自变量无量纲，因此相似长度尺度为 $\sqrt{D_mt}$。所谓渗透深度需要指定幅值阈值，并不是到某个位置突然完全没有场。本章实验画的是这个半空间开启解，不是有限球关断解。

用一个相似变量检验解

令 η=x/(2√Dt)，并设 B/B₀=f(η)。计算时间导数和空间二阶导数，PDE 化为 $f''+2\eta f'=0$。积分得到 $f'\propto e^{-\eta^2}$，再用 f(0)=1、f(∞)=0，得到 erfc。这样误差函数不是凭空出现，而是由扩散对称性与边界选出来的。

周期激励中的趋肤深度

采用 $e^{i\omega t}$ 约定，令场沿 x 衰减，代入扩散方程得到 k²=iωμσ。选择实部为正的根：

深度增加既使幅值衰减，也产生相位滞后。δ 是幅值下降到 1/e 的长度，并非可直接当成目标埋深上限。

数值例子

取 σ=10⁶ S/m、μr=1、f=1 kHz，δ≈15.9 mm。若频率增加到 10 kHz，δ 缩小到约 5.03 mm。若 μr 也增大，需要确认磁导率在该频率和激励下仍能视为同一个实常数，否则简单替换会掩盖材料色散。

有限目标更适合使用无量纲时间 $\hat t=t/(\mu\sigma a^2)$。两个目标的归一化曲线相同，并不说明实际时间轴相同，也不说明幅值相同。

半空间阶跃解怎样满足三个条件

对 x>0、初态零、表面突然保持 B₀、深处保持零的模型，解为

x=0 时 erfc(0)=1，满足表面值；固定 x>0 而 t 趋零时，自变量趋无穷，B 趋零；固定 t 而 x 趋无穷也趋零。这三个检查缺一不可。表面初始角点存在理想阶跃的不连续，不能要求那里同时满足两个互不兼容的值。

扩散深度不是一堵移动的墙

如果把“深度”定义为 B/B₀=0.1573 的位置，因为 erfc(1)≈0.1573，便有 $x=2\sqrt{D_mt}$。换成50%阈值，系数约0.954。不同定义改变系数，但共同具有平方根时间律，场并不是在某深度处突然截断。

从谐波方程推导趋肤深度

令 $B(x,t)=\Re\{b(x)e^{i\omega t}\}$，得到 $b''=i\omega b/D_m$。选取向深处衰减的分支：

实指数控制幅值，虚指数控制相位，两者由同一复根产生。瞬态扩散尺度和频域趋肤深度互相关联，但不能把 t=1/f 的替换当作所有问题的精确等式。

研究拓展

薄壳目标同时包含外尺度 a 与壁厚 h。当趋肤深度接近壁厚，实心球的尺度解释可能失效。多尺度几何、接缝与腐蚀会让“一个等效半径”难以覆盖全部时间段。

练习与解析