非磁性导电球：多指数响应从哪里来

先规定实验，才能写响应

球半径 a，内部 σ 为常数、μ=μ₀，外部真空且不导电。外加均匀 H₀ 沿 z 方向，在关断前持续足够久，于 t=0 理想关断。以下讨论 t>0 的磁矩，不包括有限关断波形及接收电路。直流稳态下非磁性球无感应静磁矩，但关断会产生涡流。

用一个向量势表达完整磁场

轴对称偶极模式可取 $A_\varphi=f(r,t)\sin\theta$，B=∇×A。球坐标旋度给出：

将向量势代入扩散关系，内部径向方程为：

这里 −2f/r² 来自向量分量和 l=1 的角向结构。若把它忘掉，求出的就不是偶极电磁模态。

分离变量与根方程

取 $f=j_1(kr)e^{-t/\tau}$，其中 $j_1(x)=\sin x/x^2-\cos x/x$。原点正则性舍弃发散的第二类球 Bessel 函数，且 τ=μ₀σ/k²。外部每个自由衰减模态的势为 C/r²。法向 B 与切向 H 连续，在 μ=μ₀ 时得到：

因此 $\tau_n=\mu_0\sigma a^2/(n^2\pi^2)$。零点 ξ=0 在这个模态表达中不是独立的自由衰减特征模态。

从初态到可观测磁矩

满足上述长时间直流预激励的关断磁矩为：

这是本章指定激励的模态权重，不适用于任意初态。利用 $\sum1/n^2=\pi^2/6$，可得理想关断后的极限 $m(0^+)=3VH_0/2$。关断前磁矩为零与这个结果不矛盾：理想瞬时变化在极薄表层诱导电流；真实有限关断把该奇异时间过程平滑化。

数值例子与收敛

a=0.05 m、σ=10⁶ S/m 时，τ₁≈0.3183 ms、τ₂≈0.0796 ms。若 H₀=100 A/m，则理想初始磁矩约 0.07854 A·m²。在 t=τ₁，归一化磁矩约为 $(6/\pi^2)[e^{-1}+e^{-4}/4+\cdots]\approx0.2265$，不是单指数预测的 0.3679。

从初态投影到模态权重

求得特征根只给出了允许的衰减速率；还要把关断形成的初始状态投影到模态基中。一般线性系统中，权重包含初态与接收投影两部分。球体的特殊几何使最终磁矩系数可解析给出，但不能据此把这些系数移植给任意初态或空心壳体。

令 $q=\pi^2t/T_d$，归一化关断磁矩为

第一个模态的幅值只有初始总幅值的 $6/\pi^2\approx0.608$。所以“晚期近似单指数”应同时拟合晚期幅值与时间常数，不能强行把初始幅值固定为全部响应。

早期平方根变化怎样从多模态出现

对原磁矩求导，n² 权重相消：

很早时可用积分近似求和，$\int_0^\infty e^{-\pi^2u^2t/T_d}du=\sqrt{T_d/t}/(2\sqrt\pi)$，从而

积分回去，m(0⁺)−m(t) 的领先项与 √t 成正比。磁矩本身保持有限，导数却呈 t⁻¹ᐟ² 的理想早期行为。实际关断与接收带宽将其平滑化。这个推导也解释了为什么不能把早期电压的幂律直接当作磁场的幂律。

截断误差该怎样报告

t=0 的尾项满足 $\sum_{n>N}1/n^2<1/N$，所以归一化磁矩尾项小于 $6/(\pi^2N)$。N=100 时上界约0.61%。导数尾项没有相同的1/n²压制，早期需要更多模态；在某个时刻 m 收敛不等于电压收敛。

研究拓展

非常早期需要许多模态。固定截断项数 N 后，场本身可能看似平滑，但其时间导数对高阶模态更敏感。实验显示的有限项曲线应标出截断数和最早有效时间，不能把 t=0 的截断误差误认为材料效应。

练习与解析