数值正演：网格、时间步与可信度检查

连续场怎样变成计算机中的有限个数？

有限差分直接近似导数，有限体积平衡小体积上的通量，有限元用基函数近似场并满足弱形式。它们都把连续自由度压缩为有限未知量。不同变量适合放在节点、边或面上，电磁场的离散结构尤其应尊重旋度和散度关系。

以线性扩散离散系统为例：

M 表示时间项权重，K 表示空间算子。Backward Euler 得到 $(M+\Delta tK)\mathbf a^{n+1}=M\mathbf a^n+\Delta t\mathbf f^{n+1}$。隐式稳定性不等于时间精度；很大时间步仍可能抹去快速响应。

先用一维稳定性建立直觉

对一维均匀网格的显式扩散格式，$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$，r=DΔt/Δx²。经典稳定条件为 r≤1/2。网格间距减半时，时间步需约减为四分之一。这个具体条件不能直接照搬到任意三维非线性求解器。

三类误差应分别检查

空间网格不足会错过边界和趋肤层；时间步太大会错过关断和早期模态；外部计算边界太近会改变场。还存在几何简化、本构和迭代误差。连续增加网格却不延远外边界，可能得到稳定但错误的答案。

比较应在真正的观测量上进行，例如门道平均电压，而不只是比较某个网格节点的 B。若目标是反演，还需要导数在网格变化下保持稳定。

一个可复现的基准流程

选择线性均匀球与已知 H₀；先计算静磁磁矩，再比较关断曲线。依次加密空间、减小早期时间步、增加外部区域。记录不同设置下相对误差和计算代价，最后选择满足误差预算的配置。解析模型本身也要检查模态截断收敛。

从扩散方程得到一行离散更新

在均匀网格上，用中心差分近似二阶导数、向前差分近似时间导数：

令误差为 $e^{ikj\Delta x}$，每一步的放大因子是 $g=1-4r\sin^2(k\Delta x/2)$。要求所有波数 |g|≤1，得到一维显式稳定条件 r≤1/2。空间步长减半，时间步长至少要缩小到原来的四分之一。高维稳定界限还与各方向网格有关。

隐式法稳定，但仍可能不准确

后向 Euler 给出 $(M+\Delta tK)u^{n+1}=Mu^n+\Delta tf^{n+1}$。对衰减模态，每步因子为 $1/(1+\lambda\Delta t)$，即使时间步很大也不爆炸。但准确的因子是 $e^{-\lambda\Delta t}$，二者可以差很多。稳定性允许计算继续，精度决定是否得到可信的衰减时间。

三组加密结果怎样估计收敛阶

若观测误差近似 $d_h=d_*+Ch^p$，则

比较的应包括实际接收电压或门积分，不只看内部场图。时间步、外域和空间网格应分开改变，否则无法判断误差来自哪一处。尖角、电导率跳变和几何逼近可能降低理想收敛阶。

降阶模型怎样与原模型保持联系

令 u≈V_r a，将原系统投影为 $V_r^TMV_r\dot a+V_r^TKV_ra=V_r^Tf$。减少自由度可以加速多次正演，但训练快照必须覆盖计划使用的材料、频率和姿态范围。应在未用于构造基底的参数上比较完整模型，而不是只报告加速倍数。

研究拓展

降低计算成本可以使用对称性、降阶模型和代理模型。但代理模型应在独立参数点、边界区域及反演结果上验证，不能只展示训练曲线。局部准确的响应不保证参数梯度同样准确。

练习与解析