Fourier、Laplace 与卷积：连接时间和频率

把一次敲击与连续敲击区分开

一口钟被敲一下，会留下逐渐衰减的声音；连续敲击时，听见的是多次响应的叠加。这帮助理解线性时不变系统的卷积。设 h 为单位冲激响应，u 为输入，零初态输出为：

因果系统有 $h(t)=0$（t<0）。积分中 h 的单位必须包含时间的倒数，才能把输入变成输出。若系统还有未衰减初态，输出需额外加入初态响应，不能全归给当前输入。

频域为什么把卷积变成乘法

本课程采用 $\hat f(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$，逆变换含 $e^{+i\omega t}$。于是时间微分变为 $i\omega$，卷积变为乘积 $\hat y=\hat h\hat u$。所谓相位，是响应相对于这一激励和时间约定的相位；比较文献前应先统一正负号。

Laplace 变换 $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 适合处理初始条件，因为 $\mathcal L\{\dot f\}=sF-f(0^+)$。对于 $e^{-t/\tau}$，极点为 $s=-1/\tau$。极点在左半平面与该模态的衰减相一致。

阶跃、关断与脉冲并不是同一条曲线

令 S(t) 为单位阶跃开启响应，则 $h=dS/dt$，需要在分布意义上处理可能的瞬时项。若系统此前在单位输入下达到稳态，关断后响应为 $K-S(t)$，其中 K 为静态增益。

脉冲核比关断响应多一个 $1/\tau$，单位也不同。如果把二者混用，会直接错误估计模态幅值。接收线圈还会求时间导数，进一步改变曲线和系数。

数值例子：有限宽度的方脉冲

输入在 0 到 T 间为 1，其余为零。利用两个阶跃相减，t>T 后输出为 $K(1-e^{-T/\tau})e^{-(t-T)/\tau}$。当 T 很短，目标未充分建立，不能假设关断幅值等于 K；当 T 远大于 τ 时才接近充分激励。

先固定傅里叶的符号约定

本教材使用 $\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$，逆变换含 $e^{i\omega t}$，因此时间求导对应乘 $i\omega$。忽略这个约定会把频域虚部、相位滞后和感应电压的符号全部弄反。

若因果系统的冲激核为 $k(t)=A e^{-t/\tau}u(t)$，则直接积分可得

当 ωτ 很小，系统近似跟随缓慢变化；当 ωτ 很大，幅值下降、相位改变。这里 A 的单位是输出除以输入再除以时间，而阶跃响应幅值的单位没有最后的“每秒”。

把有限脉冲拆成两个阶跃

记单位阶跃响应为 $s(t)=\int_0^tk(v)dv$。持续 T 的单位矩形激励为 $u(t)-u(t-T)$，所以输出是

若把关断时刻改记为 t=0，则 t>0 时输出为 $A\tau(1-e^{-T/\tau})e^{-t/\tau}$。短脉冲不会充分建立慢模态，因子 $1-e^{-T/\tau}$ 正是有限脉宽的物理意义。

离散卷积里容易漏掉的 Δt

连续卷积数值化为 $y_j\approx\Delta t\sum_{k=0}^j k_{j-k}x_k$。如果核已定义为每个采样区间的积分权重，就不能再乘一次 Δt。编程前先写单位，检查离散核究竟是样值还是积分。用 FFT 还要补零，避免循环卷积把关断后的尾部卷回开头。

研究拓展

FFT 实现的是有限离散记录上的循环结构。需要处理零填充、采样间隔和截断窗口；离散卷积近似连续积分时还应乘 $\Delta t$。当存在磁滞或参数随时间变化时，固定 h 的卷积关系未必成立。

练习与解析