标定与坐标配准：先让每个数字有可靠含义

测量链也有自己的参数

一个三轴通道可近似写成 $\mathbf y=C\mathbf B+\mathbf o+\epsilon$。C 包含增益、交叉轴和轴不正交，o 是偏置。理想情况下 C 是对角或已知旋转，但真实系统应通过数据标定，而非默认如此。

矩阵可逆并不代表校正稳定：若 C 条件数很大，反算会放大噪声。标定应同时记录参考场、温度、频率、工作幅度及安装状态。

单纯画一个球为什么不够？

在大小恒定而方向充分变化的参考磁场中，原始三轴点可能形成偏移椭球。椭球拟合可估计部分增益和偏置结构，但单凭模长约束不能唯一确定全部绝对姿态；还需要方向参考或额外几何信息。仅在一个平面旋转也可能缺少三维约束。

静态标定与动态标定应分开

静态增益正确不保证相位和时延正确。对时间响应，应测量系统脉冲、阶跃或频率传递函数；对测点位置，应记录传感器中心和定位天线之间的安装杆臂；对姿态，应统一目标、平台和传感器坐标系。

一个位置误差例子

固定偶极的幅值近似 B∝r⁻³，微小误差给出 ΔB/B≈−3Δr/r。r=0.5 m、距离误差 1 cm 时，幅值误差尺度约 6%。这可能比某些希望辨识的材料差异还大。主动收发系统还需考虑发射侧变化。

校准流程怎样形成闭环

先在无目标场景记录偏置与噪声，再用方向和幅值已知的参考验证增益，随后使用尺寸与材料明确的无危险参考目标检查完整正演链。最后把参考目标移到未参与标定的位置，检验预测，而不是仅在拟合过的条件下报告误差很小。

标定本身也是一个反演问题

用线性三轴模型 $y=A B+b$，A 含增益、轴间耦合和不正交，b 是偏置。给定多组已知 B，把它们堆成线性最小二乘即可求 A 和 b。若只知道 |B| 恒定而不知道方向，椭球拟合可以恢复部分度量信息，但旋转自由度仍未完全确定。

增益与目标幅值的严格混淆

若测量为 $d=gP h$，变换 $g\to cg$、$P\to P/c$ 不改变数据。仅凭同一组未知目标数据无法同时唯一恢复两个尺度。加入已知参考目标或独立增益标定，才是增加信息；给优化器更多迭代次数没有帮助。

联合估计辅助参数的代价

把未知量写成 $(\theta,\eta)$，分别代表目标和标定。局部信息矩阵分块为

消去不确定的辅助参数后，目标的有效信息是 $F_{\theta\theta}-F_{\theta\eta}F_{\eta\eta}^{-1}F_{\eta\theta}$，适用于相应块可逆的局部近似。这说明固定一个不准确的标定值会产生虚假的小误差条。校准先验可以加入辅助参数块，但应报告其精度。

研究拓展

可以把部分标定参数与目标参数联合估计，但自由度太多会产生不可辨识性。例如未知接收增益与未知磁矩幅值可能完全成比例。必须固定参考尺度或引入独立标定，而不是期望优化器自行找到唯一答案。

练习与解析