磁偶极子：远处怎样看见一个有限目标

远处看到的是整体轮廓

离一个目标足够远时，细小结构对观测的贡献会变弱。磁偶极模型用一个位于目标中心的磁矩向量压缩主要信息。对小电流环，磁矩为 m=IA n；匝数为 N 的同向线圈相应乘 N。单位 A·m²，与磁化强度的单位不同。

在真空中，非零位移 r 处的磁场为：

G 将磁矩变成磁场，单位为 T/(A·m²)。如果输出要用 nT，最后再乘 10⁹；不要在不同代码模块中多次换算。

两个位置，把方向看清楚

沿磁矩轴线，$\hat{\mathbf r}$ 平行 m，方括号变成 2m；赤道面上内积为零，方括号变成 −m。相同距离下轴向场幅值为赤道场的两倍，方向结构也不同。这说明不能只记住一个 $1/r^3$ 标量衰减。

对半径 a 的圆环，轴上精确场为 $B_z=\mu_0Ia^2/[2(a^2+z^2)^{3/2}]$。当 z 远大于 a，用 $a^2+z^2\approx z^2$，恰好得到磁矩 $m=I\pi a^2$ 的偶极轴向场。近似的来源由此可见。

数值例子与距离效应

取 m=1 A·m²，在 1 m 轴向位置得到 B=200 nT，在 2 m 处为 25 nT。距离翻倍使固定磁矩的场下降到八分之一。但主动系统中，目标处的一次场也可能随距离减小，诱导磁矩并非固定，所以收发整体衰减可能更强。

若传感器横穿目标上方，正负峰和峰位由姿态、测高及敏感轴共同决定。最大异常点不一定恰好位于目标的垂直投影处。

从局部电流分布压缩出磁矩

对局域、闭合的稳恒电流，磁矩定义为

远处观测时，把传播核按目标尺寸与距离的比值展开。领先的磁偶极项给出 $A\approx\mu_0(\mathbf m\times\mathbf r)/(4\pi r^3)$，再取旋度得到 B。这个过程把所有内部自由度压缩成三个磁矩分量，也丢掉高阶空间结构。因此偶极拟合中的“位置”可以是最佳等效位置，不一定总是机械几何中心。

轴线上与赤道面上的场为什么不同

取 $\mathbf m=m\mathbf e_z$，轴线上有 $B_z=2\mu_0m/(4\pi r^3)$；赤道面上有 $B_z=-\mu_0m/(4\pi r^3)$。不仅幅值相差两倍，方向也不同。一个测线上的正负变化可以来自空间几何，而非目标磁性变号。

当 m=0.01 A·m²、r=0.5 m，轴向场为16 nT；距离变成1 m，变为2 nT。这是固定磁矩的接收传播。主动感应测量中，发射场本身也随目标位置变化，源和接收两段传播共同决定整体距离关系，不能把所有系统都写成 r⁻³。

把公式写成矩阵便于反演

给定位置时磁矩对数据线性；位置未知时 G 非线性。这一结构是后面变量投影法的基础。不要在 r=0 求值，偶极近似在目标内部本来就不成立。

研究拓展

几何复杂并不自动使远场偶极近似失效，关键是观测与激励的空间变化尺度。但在近距离、大目标、多目标耦合或磁矩相消时，高阶多极贡献可能重要。r=0 是理想模型奇点，不代表真实目标内部场无限大。

练习与解析