球体退磁：从边界条件推导 N=1/3

为什么材料相同，形状仍然重要？

外场使目标磁化，磁化又产生自己的场。这部分场在目标内部改变原先的激励，形成反馈。为了把反馈完整求出，先选一个能解析求解的形状：半径 a、均匀各向同性磁导率 μ 的球，外部为真空，远处外场为 $H_0\mathbf e_z$。假定线性、静磁、无剩磁、无自由电流。

第一步：用磁标势代替三个分量

无自由电流区域 $\nabla\times\mathbf H=0$，可在这里写 $\mathbf H=-\nabla\phi$。均匀 μ 和 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 给出 Laplace 方程。轴对称均匀激励只需要 l=1 的角向形式：

内部舍去 r⁻² 项以避免原点发散；外部附加项随距离衰减，保证远处回到外加场。这一步已经使用了两个边界要求，不是任意猜两个函数。

第二步：逐项算场分量

球坐标中 $H_r=-\partial_r\phi$、$H_\theta=-(1/r)\partial_\theta\phi$，因此：

内部两分量恰好组合成均匀向量 $A\mathbf e_z$。现在才由解确认内部场均匀，而不是对所有形状作这样的假设。

第三步：界面条件给出两个未知系数

在 r=a 处，无自由面电流使切向 H 连续，法向 B 也连续：

令 $c=C/a^3$，将第一式代入第二式：$\mu(H_0-c)=\mu_0(H_0+2c)$，移项得到：

第四步：读出退磁因子

M=χA，因此 $M=3\chi H_0/(3+\chi)$。从 A 的表达式可直接检验：

N=1/3 是上述边值问题的结果，使用 SI 中三个主轴退磁因子之和为 1 的约定。C 对应外部偶极势的系数 C=m/(4π)，故 $m=4\pi a^3\chi H_0/(\chi+3)=VM$，也与体积磁化积分一致。

一个自洽的数值例子

取 χ=9、H₀=100 A/m，则 Hᵢₙ=25 A/m、M=225 A/m、H_d=−75 A/m；三者确实满足 Hᵢₙ=H₀+H_d。若 a=0.05 m，体积约 5.236×10⁻⁴ m³，磁矩约 0.1178 A·m²。再代入上一章 G，就能预测外部场。

为什么只保留一阶角向函数

Laplace 方程的轴对称解可以分离为 $r^lP_l(\cos\theta)$ 与 $r^{-l-1}P_l(\cos\theta)$。远场均匀激励的势是 $-H_0r\cos\theta$，它恰好属于 l=1。球面边界不混合不同阶的角向函数，因此只需求这一阶。若一次场在球尺度上明显变化，外部激励包含更高阶项，单一 l=1 的推导就不够了。

用第三种方式检查退磁结果

球体表观磁化率、体积极化率与外部偶极系数分别是

χ_app 无量纲，P 的单位为 m³，C 的单位为 A·m²。将 $\phi_{dip}=C\cos\theta/r^2$ 代回可得势的单位 A，再对空间求导得到 A/m。单位检查能发现文献采用 m=P B 而我们采用 m=P H 时缺少的 μ₀。

参数灵敏度揭示反演难点

当 χ=9，相对灵敏度是1/4；材料 χ 增加约1%，目标表观磁化率只增加约0.25%。当 χ 更大，这种压缩更明显。正演预测可以很稳定，而从观测反推很大的材料磁化率却很困难，这是 C36 的具体实例。

材料非线性之后还能留下什么

若仍可近似均匀磁化并有单值材料曲线 M=f(H)，则球形几何反馈仍给出 $g(M)=M-f(H_0-M/3)=0$。Newton 更新需要

这里 f′ 是局部切线。若材料有路径依赖，应连同历史状态更新，不能把一条单值函数代替完整回线。

研究拓展

当 χ→∞ 时，线性模型给 M→3H₀，这叫几何退磁限制，不能据此推出材料的饱和磁化强度。真实材料非线性时，应求解 M=f(H₀−M/3)，而不是随意选一个很大的常数磁导率。导电球随时间变化的问题还需要涡流与界面耦合，静磁结果只给稳态极限。

练习与解析