参数可辨识性：尺寸、电导率和磁导率为什么纠缠

一条时间常数，不能承担三个未知数

若观察主要受某个模态控制，$\tau=\mu\sigma a^2/\xi^2$。在固定 μr 和模态根的简化情形，保持 σa² 不变就保持 τ 不变。尺寸增大、电导率减小可以抵消。不能用一条衰减时间常数同时唯一求出尺寸、电导率和磁导率。

对数微分清楚显示局部耦合：

μr 改变时 ξ 也改变，所以最后一项不能自动丢掉。尺寸与材料的可辨识性应在实际球根或其他模型上分析。

完整例子：两个不同球的时间轴相同

固定 μr=1，球 A 的 a=0.05 m、σ=10⁶ S/m；球 B 的 a=0.10 m、σ=2.5×10⁵ S/m。二者 σa² 都为 2500，所有归一化模态时间常数相同。但在相同均匀 H₀ 下体积相差八倍，因此绝对磁矩幅值不同。

如果把每条曲线都归一化到首点，幅值线索便被主动去掉。若接收增益、位置或发射场未知，幅值也可能被其他参数补偿。归一化方便比较，但必须说明牺牲了哪些信息。

对称性也是不可辨识性的来源

球体姿态不可辨识；轴对称目标绕对称轴的旋转也可能不改变偶极张量。以任何姿态参数化优化，都会存在相应等价方向。不能把优化器在该方向的任意输出解释成可靠方位。

如何真正增加区分力？

增加独立激励方向、改变测量高度和横向分布、扩展有效时间或频率范围、引入已知材料或尺寸信息，都可能改善可辨识性。关键是让原先相似的参数效应在新数据中变得不同，而不是仅增加高度相关的样本。

用不变变换证明非唯一性

在简化模型 $y=A\exp[-t/(C\mu\sigma a^2)]$ 中，若 A 被视为独立未知幅值，则变换 $a\to ca$、$\sigma\to\sigma/c^2$ 保持时间曲线不变。无论采样多密或噪声多小，仅凭这条模型曲线都无法区分这两个参数。若幅值由已知几何、体积和增益决定，不变性可能被打破，但新的幅值证据也带来校准要求。

对数求导给出

（这里暂冻结几何常数与特征根）。因此三个 Jacobian 列沿同一时间形状排列，存在不可见的组合。导磁球的根随 μ_r 变化时要加入 C20 的根导数，不能把这个简化关系当作精确材料分解。

用剖面目标函数走出局部误差椭圆

固定某个参数 a，重新优化其他参数，定义 $\phi_{prof}(a)=\min_\eta\Phi(a,\eta)$。如果很宽的 a 区间都能得到近似相同残差，就算单次优化输出很多小数位，也没有精确的尺寸信息。剖面曲线还能暴露多个局部极小值与非对称范围，这些可能被 Hessian 近似掩盖。

设计新测量应针对弱方向

想区分姿态，增加独立激励或观测方向；想区分深度和幅值，增加有意义的空间基线；想区分衰减尺度，覆盖转折时间；想分离材料和形状，加入独立几何信息或不同物理机制的观测。只有新观测在原弱方向上有非零灵敏度，才真正增加区分力。

研究拓展

应同时使用局部 Jacobian/SVD、参数扫描或 profile likelihood、多初值及合成恢复实验。局部满秩并不排除全局多解；对某一个数据集恢复成功，也不能证明所有目标都可恢复。

练习与解析