Maxwell 方程：四条规律，一幅完整物理图景

先认清六个量

E 是电场强度，单位 V/m；D 是电位移，单位 C/m²；B 是磁感应强度，单位 T；H 是磁场强度，单位 A/m；Jf 是自由电流密度，单位 A/m²；ρf 是自由电荷密度。H 与 B 的区别不是大小写习惯，而是材料响应被如何组织进方程。

宏观 Maxwell 方程写为：

前两式约束通量，后两式约束环流。变化的磁场对应感应电场；传导电流和位移电流共同进入 H 的环流关系。这几条方程还需要本构关系、激励和边界条件，才能组成可求解问题。

从回路定律看感应

对固定空间回路，Faraday 定律为 $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l=-d\Phi_B/dt$。负号结合回路方向与法向说明：感应作用反对磁通的变化趋势，而不是永远反对原来的磁场。原场正在减小时，感应电流产生的场可能与原场同向，以阻碍这种减小。

对它应用 Stokes 定理，将两边写成同一个曲面的面积分。由于曲面可任意选择，得到微分形式。这个步骤解释了积分形式和局部形式为什么不是两套独立规律。

本构关系把材料放进来

在线性各向同性简单介质中，有 D=εE、B=μH、J=σE。更一般地，应写 B=μ₀(H+M)。如果同时在方程中加入完整磁化电流，又用包含同一磁化作用的 μ，可能重复计算材料贡献。

对 Ampère–Maxwell 方程取散度，利用“旋度的散度为零”和 Gauss 定律，可以推出电荷连续性：

这是一项很有用的自检：场和电流求解不应平白创造或消灭电荷。

数值例子

一个固定回路面积为 0.01 m²，均匀法向 B 在 1 ms 内从 1 mT 降到零。磁通变化率为 −0.01 Wb/s，因此单匝回路电动势为 +0.01 V，正方向由所选回路方向确定。实际接收还受目标场空间变化和电路响应影响。

四条方程怎样共同约束同一个场

考虑静止介质中的宏观 Maxwell 方程：

自由电荷和自由电流是宏观源；材料响应通过 D(E)、B(H) 及导电关系进入。只给四条场方程还不能求解，因为未知量多于独立关系，还缺本构、几何、初态和边界条件。把材料参数表写在求解器之外，却没有明确其进入哪条方程，会使模型无法闭合。

对 Ampère 方程取散度，利用散度旋度为零及 Gauss 定律，得到

这表明电荷守恒是方程组的相容条件。准静态近似也必须保留相应约束，不能因为忽略一项就任意允许电流在导体内部消失。

从波动到扩散之前，先看能量去向

使用 $\nabla\cdot(E\times H)=H\cdot\nabla\times E-E\cdot\nabla\times H$，在线性无色散介质中得到

左侧分别是局部储能变化和流出的能量，右侧包含源做功或欧姆耗散。若 $J_c=\sigma E$，其耗散为 $\sigma|E|^2\geq0$。非线性和磁滞介质的能量不能一律写成 BH/2，需要一致的材料自由能和耗散描述。

研究拓展

运动接收器还可能出现 $\mathbf v\times\mathbf B$ 项。把所有电压都解释成局部 $\partial B/\partial t$，会忽略运动与空间梯度的作用。课程的基本推导先采用静止介质、固定回路，再在测量章节放开这些假设。

练习与解析