ODE、PDE 与模态：把复杂变化拆开来看

只知道变化规律，也能求出未来

如果一个量的衰减速度与它当前的大小成正比，就有 $dx/dt=-x/\tau$。分离变量并积分得到 $\ln|x|=-t/\tau+C$，再用初始值确定常数：

时间常数不是“归零所需时间”。在一个时间常数后剩下约 36.8%，三个时间常数后约剩 5%。指数在有限时刻通常不严格为零，实验上所谓消失往往是低于噪声水平。

多个位置同时变化，就需要 PDE

在导体中，磁场既随时间变，也随位置变。以标量扩散为例，$\partial_t u=D\nabla^2u$。只给这个方程还不够：初始条件说明一开始各处是什么状态，边界条件说明它如何与外界交换或连接。

尝试乘积解 $u(\mathbf x,t)=\phi(\mathbf x)a(t)$，代入后除以乘积。空间与时间相互独立，因此各自必须等于一个常数。选择衰减约定：

特征值 $\lambda_n$ 取决于几何和边界。它不是随意可调的一列数字。边界允许的模态构成展开基础，而初始条件决定每个模态的系数。

一根杆上的完整例子

设长度为 L 的杆两端固定为零，初态为 $u(x,0)=\sin(\pi x/L)+0.2\sin(2\pi x/L)$。两个空间模态分别对应 $\lambda_1=(\pi/L)^2$、$\lambda_2=4\lambda_1$，因此：

第二模态衰减更快，晚期图像逐渐接近第一模态。早期却不能只保留第一项。这正是后面多指数 TEM 曲线的数学准备，但球体的空间模态和根方程不同，不能把杆的根直接搬过去。

从一个自由度到许多个模态

单个 RC 或 RL 系统对应一阶状态方程。扩散场经过空间离散后则形成多个相互耦合的自由度：

M 表示储存项，K 表示空间耦合或耗散项。在线性、适当边界与约束下，寻找 $\mathbf K\mathbf v_n=\lambda_n\mathbf M\mathbf v_n$，并把状态展开为 $\mathbf u=\sum_n a_n(t)\mathbf v_n$。若模态按 M 内积正交，每个系数满足

这解释了为什么一个目标只有一种材料，却有很多衰减时间：不同空间电流分布对应不同模态，而不是每一个指数都代表一块不同材料。

被激发不等于被看见

仪器观测为 $d=\mathbf c^T\mathbf u$，因此自由衰减系数是 $A_n=a_n(0)\mathbf c^T\mathbf v_n$。发射器可能没有激发某一模态，接收器也可能恰好对该模态不敏感。零系数不能直接证明该模态不存在。位置、姿态和测量方式都会改变权重。

能量给出的独立判断

无源、M 对称正定且 K 半正定时，定义 $E=\tfrac12\mathbf u^T\mathbf M\mathbf u$，有

若没有外部输入，数值解却持续增长，先检查符号、离散稳定性与边界，而不要立即解释为材料增益。K 的零空间需要规范或边界约束处理，并非所有零特征值都是物理衰减模态。

研究拓展

一般观测不直接等于某个模态幅值，而是对空间场做采样或积分。如果某个模态在接收位置投影为零，它即使存在也可能不可见。非线性材料会让模态相互耦合，此时固定指数叠加通常只是一种近似。

练习与解析