非线性磁化：磁导率为什么不是一个永远不变的数

输入翻倍，响应为什么未必翻倍？

线性关系 M=χH 把材料曲线视作直线。真实铁磁材料可能在弱场附近斜率变化，强场下逐渐接近磁化饱和。用同一个 χ 覆盖全部激励幅度，就会把本来属于材料的非线性错误归给形状或系统增益。

为了区分几种“磁导率”，先明确工作点。割线磁导率是 B/H，微分磁导率是 dB/dH；小扰动的增量磁导率描述工作点附近的变化。如果存在磁滞，小回线斜率还取决于路径，未必等于无磁滞曲线的导数。

用一个温和的教学模型理解饱和

无磁滞示意可取 $M(H)=M_s\tanh(H/H_s)$。Mₛ为饱和尺度，Hₛ控制初始斜率。这里 tanh 是教学参数化，不是所有钢材的通用本构。H 很小时 tanh(x)≈x，得到初始斜率 Mₛ/Hₛ；H 很大时 M 接近 Mₛ，但 B 仍包含 μ₀H 项。

将其放入主轴退磁问题，需要求隐式方程：

对这个单调无磁滞模型，$g'(M)=1+(NM_s/H_s)\operatorname{sech}^2[(H_0-NM)/H_s]>0$（N≥0），所以根唯一。二分法稳健，Newton 法更快但应保持物理区间。

一个局部近似例子

取 Mₛ=10⁶ A/m、Hₛ=10³ A/m，则原点材料斜率为 1000。球体弱场表观斜率约 $1000/(1+1000/3)\approx2.991$。很大的材料初始斜率并不保证外加场到磁化之间也有很大的斜率，因为退磁反馈仍在。

小信号磁导率来自局部线性化

在无磁滞、单值 B(H) 的工作点 H_b 附近，取 $H=H_b+h$，Taylor 展开为

小信号线性模型只描述局部增量。割线 B/H、初始磁导率和这里的微分磁导率不是同一量。若背景偏置改变工作点，同一激励幅度对应的增量响应也可能改变。

无磁滞也能出现高次谐波

用教学材料 $M(H)=\chi_1H+\chi_3H^3$，在 H=Acosωt 下利用 $\cos^3x=(3\cos x+\cos3x)/4$，得到

三次谐波并不自动证明磁滞存在。反过来，某些磁滞系统在对称激励下也可能呈反对称响应。判断机制需要幅值扫描、历史控制和相位信息，而非一个“非线性指标”。

把非线性放回退磁反馈

对均匀椭球方向，$M=f(H_0-NM)$。两边对 H₀ 求导，令 f′ 在当前内场处计算：

材料切线也会被几何退磁压缩。这意味着外部小信号测量得到的是目标切线，不应直接当作材料切线。若模型加入温度和应力，还应说明这些条件在测量中是否固定。

研究拓展

对偏置状态线性化可得到局部有效模型，但它只适用于足够小的扰动。若双极激励跨越不同磁化区间，必须重新检查线性化。奇对称的无磁滞非线性 $M(-H)=-M(H)$ 仍可能产生完全对称的正负响应，因此 even 分量为零不能证明材料线性。

练习与解析