S05 / 反演与可辨识性 · 2.0 · 参考阅读 5 分钟，推导与练习另计

贝叶斯反演：从误差椭圆走向后验分布

推导先验、似然和后验，解释 MCMC、变分推断、归一化流及覆盖率评价。

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后验把哪些信息放到一起

Bayes 公式为 $p(\theta|d)=p(d|\theta)p(\theta)/p(d)$ 。似然描述某个参数生成数据的可能性，先验描述观测前允许的范围和结构，归一化常数 p(d) 使后验积分为1。最大后验点、后验均值和最小二乘点可能不同，应说明报告的是哪一个。

取 d=θ+ε、ε~~N(0,σ_d²)，先验 θ~~N(μ₀,σ₀²)。把两个高斯的指数相加并配方，得到

\sigma_p^2=(\sigma_0^{-2}+\sigma_d^{-2})^{-1},\qquad\mu_p=\sigma_p^2(\mu_0/\sigma_0^2+d/\sigma_d^2).

μ₀=0、σ₀=2、d=3、σ_d=1 时，后验均值2.4、方差0.8。数据没有被直接当真，结果按两种信息的精度加权。先验越强，均值越靠近先验；这不是测量精度凭空提高。

对 d=θ²+ε，正负 θ 都可能解释同一正数据。如果先验对称，后验可有两个峰；其均值接近零，却可能恰好预测错误。UXO 中目标标签置换、姿态对称与深度—幅值耦合也产生复杂后验结构。应报告模式、相关性与可预测量，而非只列均值±标准差。

Metropolis–Hastings 从当前 θ 提议 θ′，接受概率为

\alpha=\min\left(1,\frac{p(d|\theta')p(\theta')q(\theta|\theta')}{p(d|\theta)p(\theta)q(\theta'|\theta)}\right).

对称提议时 q 抵消。样本有相关性，数量很多不等于有效样本很多。应比较多链、有效样本量、模式探索和后验预测；链长期困在一个姿态模式会低估全局不确定性。

用可计算分布 q_φ 近似后验，最小化 KL(q||p)，等价于最大化

\operatorname{ELBO}=\mathbb E_q[\ln p(d|\theta)+\ln p(\theta)-\ln q(\theta)].

归一化流令 θ=T_φ(z)，z 来自简单分布，通过变量替换得到

\ln q_\phi(\theta)=\ln p_z(z)-\ln|\det J_{T_\phi}(z)|.

Wu 等2025年的电磁反演研究使用这一思路近似后验。它提供快速概率推断的路线，但近似族、优化误差和模式覆盖仍需检验。该研究属于通用电磁反演，不应将结果直接当作 UXO 实测概率校准。

在一批有真值的独立任务上，统计标称90%区间包含真实参数的比例，称为覆盖率。同时记录区间宽度，避免只靠无限放宽区间得到高覆盖。对类别概率可用可靠性图和 Brier 分数；对后验再生成数据进行预测检查。合成覆盖良好只证明相应合成分布下的校准。

1. 后验非常窄却不包含真实参数，最先检查什么？

检查噪声估计、模型失配、过强先验、遗漏辅助参数，以及采样或变分近似是否漏掉其他模式。窄区间本身不是准确的证明。

2. 后验参数很分散，但所有预测曲线都一致，矛盾吗？

不矛盾。数据可能只约束参数组合。对已观测配置的预测稳定，与单个参数不可辨识可以同时成立；改变测量配置后预测可能开始分离。

MIT 18.05 · Introduction to Probability and Statistics随机变量、条件概率、统计推断与区间估计；本科公开课。
Boyd & Vandenberghe · Convex Optimization免费教材：最小二乘、正则化、约束与优化。非线性 UXO 反演并不因此自动成为凸问题。
Wu, Sun & Chen (2025) · Variational inference for geophysical Bayesian inverse problems using normalizing flowsGJI同行评议论文，DOI 10.1093/gji/ggaf239；已核对出版页与本地摘要。通用电磁后验推断，不等于 UXO 专项验证。

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