准静态近似：什么时候可以把传播看成扩散？

“低频”是相对于什么低？

一米大小的线圈和一百公里长的线路，即便使用相同频率，也不一定能做相同近似。需要比较空间尺寸与传播波长，还要比较介质中传导电流和位移电流。频率只有在与这些尺度组合后，才有明确物理含义。

对导电区中的谐波场，二者幅值之比为：

若它远小于 1，导体内部位移电流相对于传导电流较小。空气中 σ 接近零，不能拿这个比值硬说空气也满足同样条件；外部区域应从整体电磁尺寸与近场近似重新分析。

从完整方程看到被忽略的项

均匀、静止、线性介质中，由 Maxwell 方程可得：

第一项体现导电耗散，第二项参与波动传播。若相关时间尺度上第二项很小，剩下磁扩散方程。磁准静态近似仍保留 Faraday 感应，因此它绝不是把所有时间导数都删掉。

还需检查电磁尺寸 $\omega L\sqrt{\mu\varepsilon}\ll1$ 及外部辐射影响。这里 L 必须代表问题中实际相关的最大尺度，而不是只选一个最小尺寸使条件看起来成立。

一个数量级判断

取导体 σ=10⁶ S/m、ε≈ε₀、f=10 kHz，则 $\eta_d\approx5.6\times10^{-13}$。在这个理想材料参数例子里，导体内部位移电流相对很小。空气中的 1 m 尺度相对于约 30 km 的自由空间波长也很小。但这两个计算没有证明磁导率线性、背景均匀或关断理想；那些是另一些独立假设。

哪些场景要回到更一般模型？

很快的电流边沿包含更高频成分；电容耦合、低电导介质、较大空间尺度和 GPR 波传播都可能需要完整或不同的近似。模拟时应依据波形有效频带检查条件，不能仅依据脉冲重复频率。

用无量纲数决定可以忽略什么

对角频率 ω 的变化，传导电流量级为 σE，位移电流为 ωεE，故

只有在相关导电区域、相关频率范围中 $q_d\ll1$，忽略位移电流才有依据。对脉冲应检查关断沿与接收带宽所覆盖的频率，不应只使用脉冲重复频率。空气中 σ 近零，这个比值不能直接使用；整个几何还应小于相应波长，使空气域传播延迟可以忽略。

另一个独立参数描述目标内扩散：

q_d 小并不保证 q_i 小。一个目标完全可能处在磁准静态范围内，却具有显著趋肤效应。磁准静态不是“目标内部场处处均匀”的同义词。

量级演算

在纯示例参数 σ=10⁶ S/m、μ=μ₀、a=0.05 m、频率1 kHz 下，$q_i\approx19.74$，趋肤深度约15.9 mm。目标尺度大于趋肤深度，必须考虑内部非均匀电流。ε 取 ε₀ 时 q_d 约 $5.56\times10^{-14}$，两个近似条件有完全不同的结论。

何时需要退回更完整模型

若研究快速边沿的传播、介电目标、高频雷达或强电容耦合，应重新检查位移电流。若只是钢制目标的慢衰减，却发现模型不符，更可能需要检查材料非线性、背景、激励波形及几何近似，不能单凭残差就认定需要全波求解。

研究拓展

一个好模型应同时给出误差来源：准静态误差、偶极截断误差、材料模型误差、时间离散误差。提高网格精度只能改善其中一部分，无法自动修复错误的物理近似。

练习与解析