椭球退磁：三个方向，三个不同的反馈

球没有偏爱的方向，椭球有

半轴为 a、b、c 的椭球在均匀磁化条件下具有均匀内部退磁场。选主轴坐标系，$\mathbf H_d=-N\mathbf M$，其中 $N=\operatorname{diag}(N_1,N_2,N_3)$。细长方向通常退磁较弱，扁薄方向的法向退磁较强。这使同一材料沿不同方向看起来有不同的磁化能力。

均匀椭球内部 Newton 势为坐标的二次式；对该势作空间微分得到与 M 成线性关系的均匀退磁场。完整的势理论证明见参考文献，本章从该积分表示继续推导，而不把其来源伪装成一行初等代数。

从积分证明三个因子之和为 1

观察 $d[1/\Delta]/ds=-[1/(2\Delta)]\sum_i1/(a_i^2+s)$，因此：

这里使用 Δ(0)=abc 和无穷远处 1/Δ→0。因子无量纲；把所有半轴乘同一个长度倍率，变量代换后积分不变，所以 N 只依赖形状比例，不依赖绝对尺寸。

球体与细长椭球是两个检查点

令 a=b=c=R，积分变为 $R^3\int_0^\infty(R^2+s)^{-5/2}ds/2=1/3$，与独立的球体边值推导吻合。

对长轴 c>a=b 的旋转椭球，定义 $e=\sqrt{1-a^2/c^2}$，有：

当 e→0 时表达式呈现小量相减，应使用球体极限或级数避免数值失精。c/a 很大时 N∥趋近零，但有限长目标不能随意设置为零。这里是椭球，不是两端平截的圆柱。

完整例子：长短轴比 3

取 c/a=3，可得 e≈0.9428、N∥≈0.1087、N⊥≈0.4456。设 χ=99，则表观主轴磁化率分别为 χ/(1+χNᵢ)，长轴约 8.42，横向约 2.19。材料 χ 完全相同，形状反馈却让两个方向的响应相差近四倍。

从积分式理解三个退磁因子之和

令椭球半轴为 a,b,c，$\Delta(s)=\sqrt{(s+a^2)(s+b^2)(s+c^2)}$。退磁因子为

由于 $\frac{d}{ds}\Delta^{-1}=-\frac12\Delta^{-1}\sum_i(s+a_i^2)^{-1}$，三个积分相加变成一个全导数：

这个归一化来自 SI 约定和椭球几何，不应与使用4π归一化的资料混用。把全部半轴乘同一倍数并换元 s，可见 N 只依赖长宽比例而不依赖整体尺寸。

细长目标为什么沿长轴更容易磁化

对 a 为长轴、b=c 的旋转椭球，令 $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，有

长径比3时 $N_\parallel\approx0.1087$，横向约0.4456。若 χ=9，两个表观磁化率约4.55与1.80。材料完全相同，但几何反馈不同，形成方向差异。接收姿态又进一步改变记录的投影。

数值计算中的球形极限

e 很小时对数项与2e接近，直接相减会损失有效数字。展开 $\ln[(1+e)/(1-e)]=2(e+e^3/3+e^5/5+\cdots)$，得到 $N_\parallel=1/3-2e^2/15+O(e^4)$。这同时提供稳定算法和球形极限检查。

研究拓展

任意形状内部的退磁场通常不均匀。“等效 N”必须说明使用何种空间平均、激励方向和材料状态。若直接把椭球公式用于带尾翼、孔洞或不规则外壳，得到的是近似参数化，不是该几何的严格解析解。

练习与解析