向量与坐标：先说清场指向哪里

一阵风与三个数字

温度用一个数就能表达，风还需要方向。磁场同样是向量。选定三条相互垂直的单位轴后，$\mathbf B=B_x\mathbf e_x+B_y\mathbf e_y+B_z\mathbf e_z$。分量是投影，不是三份互不相关的磁场。坐标旋转后分量改变，实际磁场不变。

本课程把 $\mathbf r=\mathbf x-\mathbf x_0$ 定义为从目标中心指向测点的位移，$r=\|\mathbf r\|$，$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$。把顺序写反，可能使某些含奇次空间方向的公式变号；即使最终偶极场对反向位移是偶函数，也不能因此混用定义。

内积如何成为一次测量

一个理想单轴磁场通道读出沿敏感方向 $\mathbf n$ 的投影：

这里 $\mathbf n$ 为单位向量。若场与敏感轴垂直，通道读数可以为零，尽管场并不为零。这是“没有读数不一定没有目标”的第一个数学例子。三轴观测增加了方向信息，但也需要轴间标定。

叉积 $\mathbf a\times\mathbf b$ 的方向垂直于二者构成的平面，大小为 $ab\sin\alpha$。它会出现在 Biot–Savart 定律和环流关系中。用右手定则确定符号，比凭示意图印象可靠。

旋转的是目标，还是坐标？

约定 $R$ 把目标坐标系分量变到实验坐标系，则 $\mathbf m_{lab}=R\mathbf m_{body}$。正交旋转满足：

绕不同轴的旋转通常不交换次序。记录姿态时不仅要给出角度，还要给出轴顺序和主动、被动变换约定。后续张量变换之所以在左右各出现一个 $R$，是因为输入和输出都是向量。

完整例子

设实验坐标中 $\mathbf B=(3,4,0)$ nT，长度为 5 nT。沿 $x$ 轴测得 3 nT；沿 $(1,1,0)/\sqrt2$ 测得 $7/\sqrt2\approx4.95$ nT。若目标磁矩在自身坐标中是 $(m,0,0)$，绕 $z$ 轴转动 $90^\circ$ 后在实验坐标中为 $(0,m,0)$，长度保持不变。

方向余弦怎样变成计算中的旋转矩阵

设目标坐标基为三个单位向量，它们在世界坐标中的分量依次作为 R 的列。这样 R 的含义不是抽象的“转一下”，而是把目标坐标中的分量翻译成世界坐标分量：

前两个式子互为逆变换，因为正交矩阵的逆等于转置。最后的行列式条件排除镜面反射。绕 z 轴主动转动角度 α 时，

令 α=90°，原来的 x 单位向量变成 y 单位向量。这是检查正负号最便宜的办法。若论文使用被动坐标旋转，对应矩阵是它的转置，不能只照抄相同角度。

目标姿态与仪器姿态是两个变换

设目标磁矩是 $\mathbf m_b$，接收器朝向矩阵是 $\mathbf R_s$，则磁场通道的读数为

从右向左读：先把磁矩转到世界系，经空间传播得到世界系磁场，再投影到接收器各轴。位置差必须先在同一个坐标系计算。把接收器的俯仰误差当成目标姿态，会产生一种拟合很好、姿态却错误的解。

一个必须手算的例子

世界系场为 (1,0,0) nT，传感器绕 z 轴主动旋转 90°，则它记录 (0,−1,0) nT。负号来自坐标投影，不表示物理磁场反向了。长度、夹角和能量类二次型应满足旋转不变性，例如 $\|R\mathbf v\|^2=\mathbf v^TR^TR\mathbf v=\|\mathbf v\|^2$。

研究拓展

Euler 角有表示奇异性，优化时可能出现参数变化很大但实际姿态变化很小的情况。旋转向量或单位四元数可用于改进参数化，但四元数需要单位长度约束，且正负四元数表示同一个旋转。参数化选择不会消除物理上的姿态不可辨识性。

练习与解析