积分定理与边界条件：把局部规律连成整体

小体积的规律，为什么能约束整个区域？

把一个大体积分成许多小格，相邻格公共面的通量一出一入，符号相反。把所有格的净流出量相加，内部面互相抵消，只剩外表面。这就是 Gauss 定理的直观来源。Stokes 定理则让相邻小面的公共边环流互相抵消，只留下最外边界。

回路方向与法向由右手定则联系起来。忘记方向约定，会使正确的公式在实际代入时出现错误符号。

用一个薄盒子推导 B 的法向连续

让一个薄盒跨过两种材料的界面，法向 $\mathbf n$ 从介质 1 指向介质 2。盒高趋于零时，侧面通量趋于零；顶面和底面留下 $B_{2n}A-B_{1n}A$。由零散度得到：

这个结论不要求两边磁导率相同。相反，若 $\mu_1\ne\mu_2$，法向 H 通常会不同，因为连续的是 B 的法向分量。

用一个窄回路推导 H 的切向条件

令矩形回路跨越界面，短边趋于零。Ampère 定律给出：

$\mathbf K_f$ 是自由面电流密度，单位 A/m。没有自由面电流时，切向 H 连续。这里不用“没有任何电流”：磁化可以等效为束缚电流，但它已包含在 H 与 B 的本构关系中。对无奇异磁通变化的界面，Faraday 定律相应给出切向 E 连续。

例子：同一界面上，什么能跳变？

设平面界面两侧磁导率分别为 $\mu_0$ 和 $10\mu_0$，无自由面电流。若 H 完全平行界面，H 的切向连续，而 B 的切向可相差 10 倍；若 B 完全垂直界面，B 的法向连续，而 H 的法向相差 10 倍。这不是矛盾，是不同分量受不同条件约束。

边界条件不是额外的经验补丁

把跨越界面的薄柱体套进磁通积分式。令高度趋零，侧面积贡献消失，剩下两端面：

把跨界面的小矩形套进 Ampère 环路定律，令短边趋零，则

这里 n 从区域1指向区域2，$\mathbf K_f$ 是自由面电流，单位 A/m。不存在自由面电流时切向 H 连续；即使如此，切向 B 在磁导率不同的两侧仍可不同。法向 B 与切向 H 的搭配源自不同守恒式，不能互换。

从微分方程到弱形式

以标量模型 $-\nabla\cdot(k\nabla u)=f$ 为例，乘测试函数 v 并积分，再用乘积求导公式，得到

原方程要求 u 有二阶导数，积分后的形式只要求一阶导数具有适当的积分意义。这使分片多项式可用作有限元近似。给定 u 的边界上测试函数取零；给定通量的边界则通过边界积分进入右端。这分别对应本质边界条件和自然边界条件。

用两层材料做一次通量检查

一维稳态中无内部源，$d(k u')/dx=0$，所以 ku′ 在两层中相同。若第二层 k 是第一层的两倍，其梯度就是一半。变量自身可以连续而梯度不连续；强行要求两层梯度相等会破坏通量守恒。电流和磁场界面也需要类似的辨析。

研究拓展

球体和椭球解析模型的关键不在于写出漂亮的内部函数，而在于同时满足内部方程、外部方程、原点正则性、远场条件及界面条件。缺少任何一项，都可能留下非物理解或不唯一性。

练习与解析