Jacobian：每个参数在数据里留下什么痕迹

用一次很小的扰动探问模型

在当前参数 θ 附近，小变化 Δθ 引起 $F(\theta+\Delta\theta)\approx F(\theta)+J\Delta\theta$。Jacobian 的第 j 列，是只改变第 j 个参数时，整条数据向量如何变化。两列很像，说明两种参数变化可能难以区分。

列的单位是“数据单位/参数单位”，所以不同参数单位会改变列长度。比较灵敏度前，应统一合理的参数尺度，或分析无量纲参数及白化数据。

把单指数的导数逐项算出来

设 $F_i=Ae^{-t_i/\tau}$，则：

对 θ₁=logA、θ₂=logτ，链式法则给 $J_{i1}=F_i$、$J_{i2}=F_i t_i/\tau$。最早时刻 t=0 对 τ 没有一阶灵敏度；很晚时刻虽有 t/τ 因子，F 已很小，也可能被噪声淹没。

有限差分不是“步长越小越好”

中心差分为 $[F(\theta+he_j)-F(\theta-he_j)]/(2h)$。大 h 带来截断误差，小 h 会遇到舍入误差、正演容差和相减损失。实际应扫描若干相对步长，找导数稳定区间。参数在边界时还需单边处理或改用对数参数化。

检验可用随机方向 v：比较 $F(\theta+hv)-F(\theta)$ 与 hJv。正确的一阶展开在足够小且未进入数值噪声区时，其差应呈二阶尺度下降。

数值例子

A=10、τ=2 ms、t=2 ms 时，F≈3.679；对 logA 与 logτ 的导数此刻恰好都约 3.679。只有这一个时刻，不能区分两种变化。加入不同 t/τ 的时刻，才有机会让两列不再平行。

沿着正演链逐层求导

若 $F=\mathcal W\mathcal R G(x)P(\theta)h(x)$，线性接收与门算子固定，则位置扰动会同时改变 G 和 h：

只求接收端传播导数而漏掉发射场导数，会在主动感应系统中给出错误的深度灵敏度。若校准参数、时间零点或采样门随未知量变化，它们也需要对应导数。

PDE 的导数为什么可以通过另一个线性系统求出

设离散场满足 $A(\theta)u=b(\theta)$，对 θ_j 求导：

因此场的参数导数不必依靠反复极小扰动完整重算。若标量损失对场的导数为 g，先解伴随方程 $A^T\lambda=g$，则

对很多参数、少数标量损失，伴随法具有优势。瞬态问题还需反向传播时间耦合；有磁滞时材料状态也属于传播链。自动微分能执行链式法则，却不能修复错误的边界条件或状态更新。

导数如何得到独立检验

选方向 v，比较 $F(\theta+hv)-F(\theta)$ 与 hJv。光滑区间内，减去线性项后的误差应以 O(h²) 下降，直到舍入或求解器容差主导。并检查伴随内积 $w^TJv=v^TJ^Tw$。这两个检验分别发现导数错误和正反向算子不一致。

研究拓展

位置导数应同时作用于发射场、接收几何和可能的背景。自动微分可减少手工推导错误，但分支、插值、求根和迭代容差仍需检查。能自动给出梯度，不意味着整个模型适用于该数据。

练习与解析