磁扩散方程：把每一步推导展开

要求解什么区域？

考虑静止导体内部，无外加体电流源，σ 和 μ 为常数，材料线性各向同性，位移电流相对于传导电流可忽略。我们希望求 B 随时间和位置的变化。空气区 σ=0，不能使用接下来含 1/σ 的导体方程。

第一步：用磁場的旋度表示电流

磁准静态 Ampère 定律给 $\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$。欧姆定律 J=σE，所以：

把 μ 移出旋度用了“空间均匀常数”这一条件。如果 μ 随位置变化，这一步需要保持系数在微分运算内。

第二步：用 Faraday 定律求时间导数

应用双旋度恒等式，再利用 $\nabla\cdot\mathbf B=0$：

磁扩散率 Dm=1/(μσ)，单位 m²/s。不是 σ 越高就扩散越快；更强导电使感应电流更能抵抗变化，磁场向内部调整的速度反而更慢。

第三步：用量纲看时间尺度

设目标尺度为 a，空间二阶导数量级 B/a²，时间导数量级 B/τ。比较两边得到 τ∼μσa²。这只是尺度律，真正的各模态时间常数还要除以由几何、边界和材料对比决定的特征值。

取 μ=μ₀、σ=10⁶ S/m，则 Dm≈0.7958 m²/s。若 a=0.05 m，尺度 μσa²≈3.142 ms；非磁性球最慢偶极模态再除以 π²，约为 0.318 ms。忽略这个系数会有近一个数量级差异。

一般化与能量检查

对于空间变系数但仍为线性材料的导体，可以先保留：

非线性或有磁滞时，H 与 B 的关系应另由材料状态给出。静止无源系统中，电流以 $J^2/\sigma$ 耗散能量。若数值自由衰减出现持续增长，应检查符号、边界和时间步，而不是直接解释成新的物理机制。

不跳步地消去电场和电流

在静止、均匀、线性导体内，磁准静态关系给出 $\nabla\times H=J$，Ohm 定律给出 $E=J/\sigma$，B=μH。先把它们合并：

再代入 Faraday 定律，并使用 μ、σ 为常数：

最后一步同时用到了 ∇·B=0。若材料参数随位置变化，正确的前一步是 $\partial_tB=-\nabla\times[\sigma^{-1}\nabla\times(B/\mu)]$；若本构非线性，B/μ 还应由 H(B,z) 代替。因此“把 μ 换成一个位置函数”并不能自动得到正确 PDE。

从量纲确定时间尺度

扩散系数 $D_m=1/(\mu\sigma)$ 的单位是 m²/s。取 $\widetilde x=x/a$、$\widetilde t=t/(\mu\sigma a^2)$，方程变成

同一形状和边界类型的扩散曲线能够按 μσa² 缩放，这是后面非唯一性分析的来源。时间尺度相同不保证幅值相同，也不保证不同 μ_r 下的界面条件相同。

一维初边值问题的完整解

取 0<x<L，两端 B=0，初态 $B(x,0)=B_a\sin(\pi x/L)$。设 $B=X(x)T(t)$，得到 X″/X=T′/(DT)=−k²。边界给 k=π/L，故

初态若不是单个正弦，就先做正弦级数展开，每一项独立衰减。空间结构决定模态，初态决定权重。

研究拓展

在无界外部空气区使用标势或向量势，并与内部扩散问题耦合，是球体解的关键。只在球内解热方程并随意设 B=0 边界，通常不能得到正确的电磁球响应。

练习与解析