统一正演算子：让位置、姿态与响应各就其位

从一条可检查的观测方程开始

对第 i 个接收位置、第 j 个激励、第 k 个时窗，简化的磁场观测可写为：

这条式子把未知位置 x₀、姿态 R、目标响应 P、接收方向 n、门道 W 和背景 b 放在明确位置。对线圈观测，应把接收求导、面积和系统传递函数加入，不能只改输出单位。

参数越少越好吗？

过少参数会把真实结构留在残差中；过多参数可能把噪声也拟合进去。常见选择包括：直接估计每个时窗的对称张量、估计固定主轴及三条曲线、使用球或椭球材料参数、使用更高阶数值模型。每种参数化对应不同假设和可辨识性。

正参数可用对数参数化，例如 a=expα、σ=expβ，避免优化进入负尺寸或负电导。姿态应使用合适的旋转参数，不要把矩阵九个元素完全独立地调整。

数据堆叠顺序必须固定

将所有 i、j、k 组合展成向量时，要写清哪个指标变化最快。数据、预测、标准差和 Jacobian 必须使用同一顺序。错误排列可能仍得到一个数值上可运行的最小二乘问题，但它在拟合错误的观测对应关系。

例子：观测多不等于信息多

5 个测点、3 个激励方向、20 个门道形成 300 个标量数据。但若所有测点几何几乎相同、激励方向实际相关、门道高度重叠，独立信息远少于 300。未知参数数目小于数据数只是必要的粗略检查，不保证唯一性。

把空间与时间堆叠成明确的数据结构

设 s 表示测点，q 表示发射，r 表示接收分量，k 表示时间门。选择固定顺序把 $d_{sqrk}$ 展成一个向量，并让正演和实测使用完全相同的顺序。一个符号简洁的矩阵式背后必须明确索引，否则通道置换也可能被反演错误吸收为姿态变化。

在单目标、给定位置 x₀ 的关断模型中，每门张量参数 p_k 与数据线性：

若共有 K 门，可使用块对角矩阵联合求解；若另加跨时间平滑或共享主轴约束，各门就不再完全独立。固定位置估计张量与固定张量估计位置，是同一总问题的不同条件子问题。

背景参数如何进入同一个方程

若平滑背景可用基函数 C 表示，写 $d=A(x)p+C\beta+\epsilon$。C 的列可以是常数、平面趋势或经过检验的背景响应。添加过于灵活的背景会吸收目标信号，因此要检查 A 与 C 的列空间重叠，并在不同背景模型下比较目标稳定性。

变量投影为何能降低非线性维数

给定 x，用白化后的设计矩阵 $\widetilde A=WA$ 求 $p_*(x)=\widetilde A^\dagger Wd$，再最小化

这让非线性搜索主要处理位置，线性张量在内部更新。实际计算用 QR 或 SVD，避免显式形成伪逆；如果存在非负约束或正则项，应把它们纳入内层，投影公式也相应改变。多目标版本见 S02。

研究拓展

多目标模型在弱相互作用时可先叠加各自的场；强耦合时目标磁矩也会被其他目标的场激励，需要解联合系统。背景土壤与目标不能总被独立相加，特别是在导电介质和强耦合条件下。

练习与解析