导电磁性球：Wait–Spies 模型与边界特征根

磁导率改变的不只有时间单位

延续上一章的均匀球、真空外部与长期均匀预激励，但现在内部 μ=μrμ₀。材料仍为线性、各向同性、无磁滞的常参数。本章交互求根取 μr≥1；不把它作为真实钢材所有工作状态的描述。

内部径向解仍为 $f=A_nj_1(kr)$，外部衰减模态为 C/r²。内外 μ 不同，使切向 H 的匹配改变。因此不能简单地把非磁性球 τ 中的 μ₀ 换成 μ，却仍使用 nπ 作为根。

从两条边界关系推导特征方程

由法向 B 连续得 C=a²f(a)。外部切向场为 C sinθ/a³；内部为 −[f(a)+af′(a)]sinθ/a。再用切向 H 连续：

令 ξ=ka，用 $\xi j_1'=\xi j_0-2j_1$，得到：

将球 Bessel 函数写成三角函数：

在相应非奇异区间内可改写成 $\tan\xi=(\mu_r-1)\xi/[\xi^2+\mu_r-1]$。μr=1 回到 ξₙ=nπ；μr>1 时，第 n 个正根位于 nπ 与 (n+1/2)π 之间。程序使用连续的正弦余弦形式配合括区间二分，避免直接跨越 tan 的极点。

时间常数与关断幅值

定义 $T_d=\mu\sigma a^2$、$D_n=\xi_n^2+(\mu_r-1)(\mu_r+2)$。长期恒定 H₀ 在 t=0 理想关断后，对于 t>0：

m 的单位为 A·m²。这个表达式是磁矩的 step-off 响应；空间场还需乘 G，接收线圈电压还需做时间微分及面积积分。Asten 的讨论提醒我们，文献中的阶跃、冲激和导数记号曾出现混淆，移植公式必须连同输入输出约定一起核对。

为何冲激核还含瞬时项？

若写 $\mathbf m=V\chi_{imp}*\mathbf H_0$，在相同线性模型下，脉冲核包括：

Dirac 项不能被当成普通采样点的巨大有限数值。用阶跃叠加处理实际波形时，可避免直接数值采样 δ。非磁性极限下，核的总积分为零，与零静磁增益一致；磁性球则回到静磁增益 $3(\mu_r-1)/(\mu_r+2)$。

极限、数量级与误读

μr 很大时，第一根接近 tanξ=ξ 的第一个非零根约 4.493，而不是无限增长。因此 τ₁ 仍大致随 μr 增长，但系数与非磁性球不同。以 a=0.05 m、σ=10⁶ S/m、μr=100 为例，$T_d\approx0.3142$ s，τ₁ 约 16 ms，精确值应使用实际求得的根。

验证整条响应而不只验证一个根

长期磁化球的静态增益为 $\chi_0=3(\mu_r-1)/(\mu_r+2)$。理想高频极限的有效屏蔽增益为 −3/2，因此关断响应起始极限为两者之差：

μ_r=1 时回到1.5；μ_r 很大时趋于4.5。这是检查无限模态和及冲激瞬时项是否一致的有力关系。它并不意味着真实仪器能够在理想零时刻测得这个值。

时间常数对磁导率的导数包含根的移动

记特征方程为 F(ξ,μ_r)=0，根简单时隐函数求导给出

对本章 F，有 $F_{\mu_r}=\sin\xi-\xi\cos\xi$，$F_\xi=(\mu_r+1)\xi\sin\xi+\xi^2\cos\xi$。如果反演中只对前面的 μ_r 求导却冻结特征根，就会得到不一致的 Jacobian。模态幅值同样含 μ_r 和 ξ_n 的导数。

一套能复现模型的计算顺序

先把半径、σ、μ_r 转成 SI；计算 T_d；逐区间求正根；计算 D_n 和模态权重；在实际关断后时间上求和；最后接上空间传播、实际波形和接收算子。比较不同截断数在最早时间门上的结果，再决定保留多少项。这比固定“100个模态够用”更有依据。

从经典球解通往复杂目标

球解主要贡献是可控基准：每一步假设、根、系数和极限都可以检查。任意几何应通过数值场解、适当的降阶模型或更高阶张量连接观测。阅读 Wait–Spies 和 Asten 的讨论 时，把“输入是阶跃还是冲激、输出是场还是其导数”写在笔记首行。

研究拓展

均匀激励、实心球、常数 μ 和零磁滞是重要边界。外壳厚度、非均匀一次场、剩磁和非线性会改变模型。这个解析解适合作为数值求解器的基准和物理理解的锚点，不应直接宣称能精确表示每一种 UXO。

练习与解析