频域 EMI：幅值、相位与复极化响应

为什么要同时测幅值与相位？

设输入为 cosωt，输出可以写成 A cos(ωt+φ)。仅记录 A 会丢掉相对于输入的相位。复数表示把二者放进 $\hat d=Ae^{i\phi}$；实部和虚部是这套参考约定下的同相与正交分量。

本课程使用 $e^{i\omega t}$。一个一阶松弛通道满足 $\tau\dot y+y=Ku$，频域传递函数为：

这只是解释相位的简单系统，真实导电目标还可能具有静态项、瞬时项和多模态结构。

复 MPT 怎样连接观测

小目标、局部均匀激励等条件下，$\hat{\mathbf m}=P(\omega)\hat{\mathbf H}_p$，空间场为 $\hat{\mathbf B}_s=GP(\omega)\hat{\mathbf H}_p$。P 的实虚部分别包含不同的频率响应信息，但符号依赖激励与 Fourier 约定。

若记录来自接收线圈，频域求导带来 iω 因子，再乘线圈方向、面积和系统传递函数。把线圈电压的相位直接当作磁矩相位，可能差一个显著的参考旋转。

一次场归一化要说明分母

工程中常用相对于一次场的 ppm 响应，即二次场与参考一次场之比乘 10⁶。若参考一次场接近零，归一化会不稳定。不同发射、接收位置的 ppm 不一定可直接比较，更不能自动消除所有几何因素。

数值例子

对上面 K=1 的简单松弛系统，在 ωτ=1 时幅值为 1/√2、相位为 −45°；在 ωτ=0.1 时幅值约 0.995、相位约 −5.71°。跨越特征频率有助于分辨时间尺度，全部频点都挤在低频平台时则难以估计 τ。

一阶响应的复数图像

对 $K(\omega)=K_0/(1+i\omega\tau)$，令 x=ωτ，则

虚部符号来自本教材的 $e^{i\omega t}$ 约定。x=1 时实部为 K₀/2，虚部为−K₀/2，幅值 K₀/√2，相位−45°。这一 Debye 型单模态示例帮助理解相位，不代表任意金属目标的完整频谱。

相位误差为什么会伪装成材料变化

时延 Δt 使频谱乘 $e^{-i\omega\Delta t}$。当 ωΔt 很小时，实部向虚部泄漏约−ωΔt Re K。若目标虚部本来很弱，小小的时钟偏差就可能显著改变估计的耗散响应。增益、相位和背景需要与目标参数共同考虑。

时间域和频率域拥有相同系统但不同数据窗口

完整因果核可通过变换连接两个域；有限时间门、有限频带和噪声使实际信息不同。频率范围没有跨过 ωτ≈1 的转折区时，很难区分幅值与时间常数。不能把“两个域理论等价”理解为任意两组有限数据都同样有辨识力。

研究拓展

有限频段转换到时域需要外推和截断，不能创造带外信息。因果性联系实部与虚部，但有限噪声和窗口限制使实际变换不稳定。一般对象的复 MPT 两部分可能不共轴，逐频率排序特征值还可能产生交换和误配。

练习与解析