复杂环境：土壤、海水、近场与高阶目标模型

背景既能产生信号，也能改变目标传播

简单背景相减模型写成 $d=d_{target}+d_{background}$。但导电背景还会改变一次场、目标内部响应和返回接收器的传播。因此较完整的表达是 $d=F_{total}(\theta,\eta)-F_{background}(\eta)$ 加上测量误差，其中 η 是背景参数。这两种写法只有在相应弱耦合近似下才等价。

土壤背景与目标信号可能占据相近子空间

在一组数据上用 Cβ 表示背景，白化后消去背景可得 $P_C^\perp=I-\widetilde C\widetilde C^\dagger$。目标数据变为

若目标响应也落在 C 的列空间中，它会一起被删除。因此“背景去得越干净越好”不是普遍目标。背景测点应覆盖相关位置、时间和仪器状态，并用留出目标检查信号损失。相关噪声、位置误差和真实第二目标需要分别处理。

海水为何不能直接当空气

海水具有明显电导率，其响应与目标尺寸、发射频谱和几何共同影响观测。Gasperikova 等的水下实测案例明确处理背景后再估计主极化率。课程保留其作为实测证据，但不将单个场地的处理参数外推成所有水深与沉积环境的通用配置。

若使用分层背景，应先求对应 Green 算子和一次场，再计算目标扰动。频域中可能涉及水平波数积分，瞬态再通过变换或时间推进获得。对于复杂海底地形、局部高导异常，应评估三维背景求解的必要性。

非均匀激励推动更高阶表征

在目标中心展开一次场：

均匀项驱动领先偶极响应，梯度与更高阶项携带目标有限尺度和非均匀激励的信息。广义 MPT 的研究为这种系统展开提供理论结构。适用性由目标尺度相对背景场变化尺度和接收距离决定；增加高阶项还会增加待估参数及对噪声的敏感性。

空心、薄壳与端部结构的额外尺度

实心球只有整体尺度 a，壳体还引入厚度 h。趋肤深度与 h 的相对大小决定电流是否充分穿透壳壁，h/a 又决定几何关系。仅把实心球体积换成金属体积而保持全部特征根不变，通常没有推导依据。应先建立可解壳体基准或经网格收敛的数值模型，再研究哪些可观测特征区分厚度。

模型失配如何让参数偏移

若真实数据 $d=F(\theta_*)+\delta F+\epsilon$，局部无正则反演偏差近似为

δF 在 Jacobian 列空间的部分容易被参数吸收，因此残差小也可能有参数偏差；正交部分则更容易留在残差中。这个分解解释了为什么应同时看参数、残差和独立观测。

练习与解析