噪声、漂移与滤波：数据的不确定性来自哪里

先区分噪声与没有建模的信号

随机电子噪声、缓慢漂移、工频干扰、运动耦合和地质背景都可能出现在记录里，但统计性质不同。把所有残差都称为独立高斯噪声，会让后续不确定性看起来过小。可预测的系统干扰应尽量显式建模，或通过有根据的实验设计削弱。

功率谱密度 Sv 的单位是 V²/Hz，幅度谱密度 √Sv 的单位是 V/√Hz，二者不能相加混用。本章使用单边 PSD。低频经典热噪声近似为 Sv=4kBTR；换用双边谱时系数会相应变化。

带宽怎样变成均方噪声

经过传递函数 H(f) 后，输出方差为：

对白噪声，等效噪声带宽 $B_{eq}=\int_0^\infty|H(f)/H(0)|^2df$，不是所有滤波器都等于其 −3 dB 带宽。将噪声折算到输入磁场时，必须使用频率相关灵敏度，$S_B=S_v/|K_B(f)|^2$。

叠加为何只在特定条件下按平方根改善

N 次独立、同方差、零均值噪声的平均标准差为 σ/√N。若噪声具有共同漂移，各次并不独立，改善会弱于这个规律。差分去背景也会增加来自背景测量的方差，而不是免费消除所有误差。

例如单次噪声 10 nT，100 次理想独立叠加后为 1 nT。如果每次还共享一个 3 nT 标准差的偏移，总标准差约为 √(1²+3²)=3.16 nT，继续增加次数收益有限。

对数坐标上的陷阱

晚期小信号可能出现负值，这是噪声下正常的记录，不应为了画对数图直接删掉。取绝对值会改变分布，取对数会改变噪声模型。可以在显示时使用带符号对数或标出噪声区间，但反演应保持明确的统计假设。

从功率谱走到协方差

对平稳实信号，单边 PSD $S_n(f)$ 满足 $\operatorname{var}(n)=\int_0^\infty S_n(f)df$。经过线性滤波器 H(f) 后，

幅度谱密度是 PSD 的平方根，单位例如 nT/√Hz，不能先把幅度谱直接积分再开方。两个相邻时间门共享滤波记忆时，协方差非零，较密的采样未必产生同比例的新信息。

相关噪声限制叠加收益

N 次测量方差都为 σ²，任意两次相关系数为 ρ，则平均值方差为

N=100、ρ=0.1 时，标准差约为单次的0.33，而不是0.1。独立白噪声能被平均显著降低，慢漂移却可能形成平台。重复序列设计和背景监测因此与单次传感器噪声同样重要。

为什么对数拟合会改变误差模型

若 $d=s+\epsilon$ 且 |ε|≪s，则 $\ln d\approx\ln s+\epsilon/s$。因此对数空间方差约为 σ²/s²，晚期弱信号误差被放大；负值还无法取对数。若想同时展示跨多个量级的带符号数据，可以改变显示方式，但反演仍应根据实际噪声分布构造似然。

研究拓展

时间门道重叠、数字滤波和叠加会产生通道间相关性。用完整协方差进行白化，比简单用每个通道的标准差更一般。估计协方差也需要足够样本，必要时采用收缩或结构模型，避免病态逆矩阵。

练习与解析