不确定性与信息：误差条从哪里来

一个最佳值只是答案的一部分

估计深度为 0.50 m，与估计为 0.50±0.30 m，传递的信息非常不同。误差范围取决于噪声、观测几何、参数耦合、模型假设和先验。优化器输出很多小数位，不代表同样高的物理精度。

在线性化、高斯噪声和局部可逆条件下，无先验近似参数协方差为：

若噪声方差由残差估计，还需相应尺度和有效自由度处理。存在不可辨识方向时，该逆可能不存在，不能用一个未经解释的伪逆假装所有方向都有有限不确定性。

相关性比单独误差条更能说明问题

协方差对角线给各参数方差，非对角线给关联。尺寸增大可由电导率减小补偿时，联合分布可能形成长而倾斜的带。分别报告两个均值和标准差，会隐藏这条重要结构。

例子：求和很准，单个参数不准

若数据只测 θ₁+θ₂，这个和可以在重复测量后估计得很精确，但 θ₁−θ₂ 完全不受约束。误差传播到一个派生量 q(θ) 时，要用 $\operatorname{Var}(q)\approx\nabla q^TC_\theta\nabla q$，不能仅把各参数标准差相加。

什么样的新测量更有用？

独立观测的 Fisher 信息近似可相加。实验设计可考虑提升最小特征值、降低关心参数的方差，或提高信息矩阵行列式。不同准则服务于不同目标；若最关心深度，就不必盲目优化所有参数体积。

三种误差范围不能互相替代

条件协方差假定模型形式和辅助参数正确；联合协方差把标定、背景等不确定量一起估计；模型差异还包括球体代替真实外形等结构误差。只报告第一种通常最窄，却最容易被误读为全部误差。

在线性高斯且有高斯先验时，后验协方差为

若 θ 是非线性参数，这通常只是某工作点附近的 Laplace 近似。多峰、边界和强非线性会使椭圆描述失效，需要剖面或采样方法。

从参数不确定性传播到预测

某新位置预测为 q(θ)，局部方差约为 $J_qC_{post}J_q^T$；若问“新测量会落在哪里”，还需加新测量噪声。这区分了均值预测区间与实际观测预测区间。参数不唯一时，已测区域的预测仍可能很准，而外推到未测区域可能差异很大。

加一个测点能增加多少信息

新观测灵敏度行为 aᵀ、噪声方差 σ²，在线性高斯近似下

若 a 对原本不确定的方向敏感，协方差下降明显；若只重复已有方向，收益较小。D 最优可最大化信息矩阵的 log det，A 最优可最小化协方差 trace，但都依赖选定的参数尺度和设计范围。

研究拓展

非线性、多峰和边界问题中，线性化误差椭球可能误导。可用参数剖面、bootstrap 或采样检查。Bootstrap 应保留原数据相关结构，重复时间窗不能被随意当成独立样本。Bayesian 可信区间和频率学置信区间的解释也应区分。

练习与解析