偏导、梯度、散度与旋度

快速回顾

偏导只改变一个自变量，暂时保持其他变量不变。梯度把标量场变成最大增长方向；散度测局部净通量；旋度测局部单位面积环流。Laplacian 是各空间二阶导数之和。

从头理解

对 f=x²+y²，x 方向偏导为 2x，y 方向为 2y；在 (1,2) 处梯度为 (2,4)。沿单位方向 n 的变化率是 ∇f·n。对 F=(x,y,0)，散度为 2；对 G=(−y,x,0)，旋度为 (0,0,2)。

不要把“场很大”与“场变化很快”混淆。均匀非零场的空间导数可以为零。

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Faraday 定律含旋度，磁通守恒含散度，扩散方程含 Laplacian。需要逐行推导时阅读 C03 和 C17。

偏导数与总变化

f(x,y)=xy 时，固定 y 对 x 求导得到 y，固定 x 对 y 求导得到 x。两个变量一起变化时 $df=y\,dx+x\,dy$。Jacobian 把这一规则推广到多个输出，不需要重新发明一种导数。

前者是局部向外扩张，后者是平面旋转。为陌生公式检查“输出是标量还是向量”，通常比立即展开所有分量更有效。