积分、通量、环流与边界条件

快速回顾

积分把局部贡献加成整体。体积分对应体内总量；面积分的通量含法向投影；线积分的环流含切向投影。方向不同，符号可能不同。

从头理解

一个均匀场穿过平面，通量为 BAcosθ。将平面翻转，法向反号，通量反号。Gauss 定理把体内散度积分变成边界净通量；Stokes 定理把曲面旋度通量变成边界环流。

在材料界面让跨界薄盒或窄回路尺寸趋零，就得到法向 B 连续、无自由面电流时切向 H 连续。连续的不是所有场的全部分量。

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球体解析系数由这些条件确定，详见 C04 与 C11。接收线圈也通过面积磁通积分工作。

面积分中的方向来自哪里

曲面带单位法向 n，磁通为 $\Phi=\int B\cdot n\,dS$。若 B 均匀、面积 A、夹角 θ，则 Φ=BAcosθ。翻转法向会改变通量符号。Stokes 定理的回路方向与法向通过右手规则配对，不能独立指定。

边界条件的薄柱体和小回路推导见 C04。理解它们能解释为什么法向 B 连续，而不是要求所有 B 分量连续。