指数、微分方程与初始条件

快速回顾

微分方程描述变化率与当前状态的关系。$\dot x=-x/\tau$ 配上初值 x₀，解为 $x=x_0e^{-t/\tau}$。τ 具有时间单位，指数的自变量必须无量纲。

从头理解

一桶水若按“当前剩余量的一定比例”持续减少，下降会越来越慢，形成指数。一个 τ 后剩 36.8%，三个 τ 后剩 5% 左右。若不知道初值，就有无数条不同幅度的曲线满足同一个方程。

PDE 还包含空间变化，通常需要边界条件。对导体内场，初始磁化与电流分布决定哪些空间模态被激发。

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TEM 多指数不是把同一指数重复写很多次，而是不同空间模态具有不同衰减速率。详见 C05 与 C19。

先分离变量，再代初值

方程 y′=−y/τ 给 dy/y=−dt/τ，积分得 ln|y|=−t/τ+C，因此 y=Ae⁻ᵗ/τ。初值 y(0)=y₀ 决定 A=y₀；微分方程本身并不能确定全部幅值。

解由稳态部分和自由衰减组成。t=τ 时自由部分剩 e⁻¹≈0.368；“一个时间常数”不是下降到零。建立与关断使用同一状态方程，参见 C16。