复数、频谱与卷积

快速回顾

复数 Aeiφ 用幅值 A 和相位 φ 表示周期响应。Fourier 变换把时间信号分解为频率成分；卷积把过去各时刻输入留下的影响加起来。

从头理解

一个线性时不变系统对单位敲击响应 h(t)。两次敲击就产生两条移位响应的和；连续输入是无数微小敲击的极限，所以输出 y=h*u。若系统有非线性或会随历史改变，不能自动使用同一个固定 h。

本课程采用逆 Fourier 因子 e^{+iωt}，微分对应 iω。ω=2πf，Hz 与 rad/s 不可混用。步进和冲激的单位不同，阶跃响应求导才得到冲激核。

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实际发射波形和接收滤波可在相应线性假设下进入卷积。详见 C06、C21。

复数同时保存幅值与相位

z=a+ib 的模长为 √(a²+b²)，相位应使用能区分象限的 atan2(b,a)。例如 z=1−i 的幅值为 √2、相位−45°。只保留模长会丢失相位，这可能正是区分材料与时延所需的信息。

乘以共轭可以得到实部和虚部；这是 C22 的单模态频响推导。卷积则表示各个过去输入对当前输出的累计，并不是普通逐点相乘。