特征值、模态与奇异值

快速回顾

Av=λv 表示 v 所在直线经过 A 作用后仍保持，只改变缩放和可能的正负方向。对称实矩阵具有正交特征向量。SVD 则可用于长方形矩阵：A=UΣVᵀ。

从头理解

对 diag(2,1)，两坐标轴就是特征方向。SVD 可以理解为先旋转输入方向，再按各奇异值伸缩，最后旋转到输出空间。小奇异值意味着某个输入组合几乎不改变输出。

场 PDE 中的模态是这个思想在函数空间中的对应物：特定空间分布只按自己的时间系数变化。边界条件决定允许哪些模态。

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极化主轴使用特征分解，多模态扩散使用空间特征问题，反演可辨识性使用 SVD。三者有关联但不能互换。详见 C34。

特征值和奇异值解决不同问题

Av=λv 表示方阵对某个方向只缩放。奇异值分解 A=UΣVᵀ 对长方形矩阵也成立，并描述输入方向到输出方向的增益。

两列相同，使参数差值完全不可见。这个例子的奇异值为 √10 和0；零奇异值不是算坏了，而是数据结构本身缺少信息。C34进一步讨论有噪声和参数尺度时怎样解释小奇异值。