优化、链式法则与参数缩放

快速回顾

优化寻找使目标函数变小的参数。梯度给局部变化方向，Hessian 描述局部曲率；非线性问题可能有多个局部解。参数单位影响步长与条件数。

从头理解

为了保证 σ>0，可令 σ=eβ。此时 ∂F/∂β=σ∂F/∂σ。忘记这项链式法则，会使同一个模型在不同参数化下给出不一致梯度。

对 f(x)=(x−2)²，梯度为 2(x−2)。沿负梯度移动可以靠近 2，但步长过大也会越走越远。线搜索和阻尼是控制这种局部近似风险的工具。

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材料、尺寸、位置和姿态的尺度差异很大。应先合理缩放，再解释优化速度和奇异值。详见 C32、C33。

梯度为什么需要配合尺度

同一个误差函数对深度（m）和电导率（S/m）的偏导具有不同单位，直接比较数值大小可能没有意义。令 θ=θ₀+Dq，则 $J_q=J_\theta D$，q 的单位尺度代表你关心的典型变化。

对 F(θ)=e⁻ᵗ/τ 且 q=lnτ，链式法则给

先做这个小例子，再看 C32 的多层正演求导和 C33 的阻尼更新，会更容易追踪每一步的含义。