Green 函数、Bessel 函数与解析解入口

快速回顾

Green 函数描述线性算子对点源的响应，再通过积分叠加得到分布源响应。Bessel 函数是某些具有圆柱或球对称性的微分方程的自然解，并不是任意增加的复杂符号。

从头理解

自由空间 Laplace 算子的基础势与 1/r 有关，对它求空间导数得到偶极场的方向结构。球坐标分离变量后，角向部分与球谐有关，径向部分可出现球 Bessel 函数。

本课程球体偶极模态使用 $j_0(x)=\sin x/x$ 和 $j_1(x)=\sin x/x^2-\cos x/x$。x→0 时应使用 j₀→1、j₁≈x/3 避免直接相除。边界条件决定允许哪些根，而不是函数名字决定材料响应。

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空间偶极算子见 C09，球模态推导见 C19 与 C20。

Green 函数是单位源的响应

线性算子 L 的 Green 函数满足 $LG(x,\xi)=\delta(x-\xi)$，于是给定源 f 时可以形式上写 $u(x)=\int G(x,\xi)f(\xi)d\xi$，还须满足相应边界条件。不同背景与边界有不同 G，不能把自由空间核用于任何环境。

球 Bessel 函数出现在球坐标分离变量中，例如

小 x 极限应用级数计算，避免严重相消。C19–C20 用边界条件选出 j₁ 的允许组合和特征根。